专题三比例问题
考点·技法清单
比例问题的核心方法：设“1”法，将某个量设为便于计算的某一常数。比例问题包含以下问题：溶液问题、工程问题、牛吃草问题、调和平均数和钟表问题等，具体解题技巧如下表所示：
比例问题常用解题技巧
溶液问题基本关系式浓度=（溶质÷溶液）×100%
溶质=溶液×浓度
溶液=溶质÷浓度
溶液=溶质+ 溶剂工程问题基本关系式工作总量=工作效率×工作时间牛吃草问题“列方程、解方程”是基本解题思路关键在于“草每天都要长”，即“总量”随时间的推移而“变大”。若涉及“总量”随时间的推移而“变小”的题型，必须将公式中减号换为加号草场原有草量=（牛数-每天长草量）×天数
原有水量=（抽水机数-单位时间漏水量）×抽水时间调和平均数调和平均数公式：=2a1a2a1+a2；本质：“1a1,1,1a2”成等差数列。钟表问题1.基本常识型：了解钟表盘面的基本结构、指针的运动规律、考试的基本题型。
2.追及公式型：熟练寻找“静态时间”，学会代入公式进行运算。
3.快慢坏表型：抓住快慢坏表与标准时间之间的“标准比例关系”。
基础过关自测
1.筑路队原计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑路80米，这样在规定完成全路修筑任务的前3天，就只剩下1160米未筑，这条路全长多少千米？（）
A. 8.10B. 10.12C. 11.16D. 13.50
2.有A、B两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要20小时，乙车需要24小时，丙车需要30小时。现在甲车装运A堆煤，乙车装运B堆煤，丙车开始先装运A堆煤，中途转向装运B堆煤，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运A堆煤用了多少时间？（）
A. 2小时B. 5小时C. 6小时D. 8小时
3.甲、乙、丙三队在A、B两块地植树，A地要植树900棵，B地要植树1250棵，已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树。两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？（）
A. 5B. 7C. 9D. 11
4.一根木杆，第一次截去了全长的12，第二次截去所剩木杆的13，第三次截去所剩木杆的14，第四次截去所剩木杆的15，这时量得所剩木杆长为6厘米。问：木杆原来的长是多少厘米？（）
A. 15B. 26C. 30D. 60
5.货场上有一堆黄沙，如果用3辆卡车，4天可以运完；如果用4辆马车，5天可以运完；如果用20辆小板车，6天可以运完。现在由2辆卡车、3辆马车、7辆小板车共同运两天后，全部改用小板车运，必须在两天运完。后两天每天需多少辆小板车？（）
A. 10B. 12C. 15D. 30
6.有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水。先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。请问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？（）
A. 无法判定B. 甲桶糖水多
C. 乙桶牛奶多D. 一样多
7.当含盐30％的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少千克？（）
A. 45B. 50C. 55D. 60
8.甲杯中有浓度为17％的溶液400克，乙杯中有浓度为23％的溶液600克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。现在两杯溶液的浓度是()。
A. 20％B. 206％C. 212％D. 214％
9.从装满1000克浓度为50%的酒精瓶中倒出200克酒精，再倒入蒸馏水将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？（）
A. 225%B. 244%C. 256%D. 275%
10. 浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？（）
A. 30％B. 32％C. 40％D. 45％
参考答案
1.C［解析］ 现在每天筑路：720+80＝800（米）
规定时间内，多筑的路是：（720+80）×3-1160
＝2400-1160
＝1240（米）
求出规定的时间是1240÷80＝15.5（天），这条路的全长是720×15.5＝11160（米）。
故本题选C。
2.C［解析］ 以装运一堆煤的工作量为1，则三车共同完成的工作量为2，所需时间为2÷（120+124+130）＝16（小时），甲车装运A堆煤完成1620，丙车装运A堆煤的时间是（1-1620）÷130＝6（小时）。故本题应选C。
3.D［解析］ 植树共需（900+1250）÷（24+30+32）＝25（天）。乙应在A地干（900-24×25）÷30＝10（天），第11天转到B地。故本题正确答案为D。
4.C［解析］ 6÷（1-15）÷（1-14）÷（1-13）÷（1-12）
＝6÷（45×34×23×12）
＝6÷15＝30（厘米）
故本题选C。
5.C［解析］ 设后两天每天需x辆小板车，列方程有：
（13×4×2+14×5×3+120×6×7）×2+120×6×2x＝1，求得x＝15。
因此，本题正确答案为C。
6.D［解析］ 两次操作之后，甲桶中液体的总量并没有变。因此：甲桶减少了多少牛奶就应该增加了多少糖水，才能保证前后总量不变。因此，甲桶内的糖水与乙桶内的牛奶应该一样多。
7.A［解析］ 设最后盐水重x千克，溶质不变，得60×30%=x×40%→x=45。
8.B［解析］ 400×17%+600×23%400+600=20.6%。
9.C［解析］ 倒出比例为15，根据公式，浓度为：50%×（1-15)3=25.6%。
10. A［解析］ 由题意可知（70%×100+20％×400）÷（100+400）×100％＝30％，故选A。
重点易错题集训
1.某车间原有男工人是女工人的114倍，后来又调来2名女工人，现在男工人是女工人的115倍，这个车间有男工人多少人?（）
A. 25B. 38C. 46D. 60
2.某校六年级原有两个班，现重新编为三个班。将原一班人数的13与原二班人数的14组成新一班，将原一班人数的14与原二班人数的13组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班多110，那么原一班有多少人？（）
A. 48B. 52C. 60D. 80
3.有一批书要打包后邮寄，要求每包内所装书的册数都相同，用这批书的712打了14个包还多35本，余下的书连同第一次多的零头刚好又打了11包，这批书共有多少本？（）
A. 1000B. 1310C. 1500D. 1820
4.小明家电热水器贮满了水。一天早晨，小明妈妈用去了20％，小明的爸爸又用去18升，小明用去了剩下水的10％，最后剩下的水只有贮存量的一半还少3升。小明家的电热水器贮水量是多少升？（）
A. 36B. 42C. 54D. 60
5.有两包糖果，每包中都有奶糖、水果糖和巧克力糖。
（1）第一包糖的粒数是第二包糖的23；
（2）第一包糖中奶糖占25％，第二包中水果糖占50％；
（3）巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的2倍。
当两包糖合在一起时，巧克力糖占28％，那么水果糖所占的百分比是多少？（）
A. 26％B. 31％C. 44％D. 50％
6.育红小学六年级举行数学竞赛，参加竞赛的女生比男生多28人。根据成绩，男生全部获奖，而女生则有25％的人未获奖。获奖总人数是42人，又知参加竞赛的人数占全年级的25。六年级学生共有多少人？（）
A. 130B. 78C. 90D. 111
7.小明储蓄罐内存有2分硬币若干个。他每天上学从罐内取出一部分买早点，第一天取出110，以后8天分别取出当天的现有硬币的19、18……13、12，9天后还剩下10个硬币，那么原来罐内共有（）个硬币。
A. 80B. 100C. 120D. 150
8.甲、乙二人分16个苹果，分完后，甲将自己所得苹果的13给了乙，然后乙又将自己现有苹果数的13还给甲；最后甲又将自己现有苹果数的13给了乙，这时两人苹果数恰好相等。问：最初甲分得几个苹果？（）
A. 7B. 10C. 13D. 15
9.甲、乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的质量比变为7∶5，那么两包糖质量的总和是多少克？（）
A. 32B. 46213C. 48112D. 50
10. 一根绳子，第一次剪去全长的59，第二次剪去的长度与第一次剪去长度的比是9∶20，结果还剩下7米，求这根绳子的长是多少米？（）
A. 18B. 26C. 32D. 36
11. A种酒精中纯酒精的含量为40％，B种酒精中纯酒精的含量为36％，C种酒精中纯酒精的含量为35％，它们混合后得到纯酒精含量为385％的酒精11升。其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？（）
A. 5B. 7C. 10D. 12
12. 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的15；如果三人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？（）
A. 24B. 20C. 18D. 12
13. 甲管注水速度是乙管的一半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可以注满，现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将池注满，问甲管注水的时间是多少小时？（）
A. 12B. 18C. 36D. 40
14. 5个工人加工735个零件，2天加工了135个零件，已知这2天中有1个人因事请假1天，照这样的工作效率，如果以后几天中无人请假还要多少天才能完成任务？（）
A. 3B. 5C. 8D. 10
15. 已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生数是乙校学生数的42％，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？（）
A. 40％B. 50％C. 60％D. 75％
参考答案
1.D［解析］ 由“原来男工人数是女工人数的114倍”，知原来女工人数是男工人数的45；同样知，调来2名女工后，女工人数是男工人数的56，故调来的2名女工相当于男工人数的（56-45），所以男工人数有：2÷（56-45）＝2÷130＝60（人）。本题答案为D。
2.A［解析］ 观察题中条件可发现，原一班人数的1-13-14＝512和原二班人数的1-13-14＝512共有30人，即两班人数的512是30人，因此，原一班和原二班共有30÷（1-13-14）＝30÷512＝72（人），新一班和新二班共有72-30＝42（人）。设原一班有x人，原二班有（72-x）人，则有：［14x+13（72-x）］×（1110+1）＝42,解得x=48（人），故本题答案选A。
3.C［解析］ 由已知条件，全部书的712打14个包还多35本，可知全部书的112打2个包还多5本，即全部书的512打10包还多25本，而余下的是512加35本打11包。
所以，（35+25）÷（11-10）＝60（本），即1包是60本，这批书共有（14+11）×60＝1500（本）。
故本题正确答案为C。
4.D［解析］ 根据题意，设贮水量为x升，则有方程：20%x+18+(x-20%x-18)×10%+12x-3＝x，解得x＝60（升），故本题答案选D。
5.C［解析］ 根据条件（1）,可设第二包糖的粒数为3x，则第一包糖的粒数为2x。根据条件（2）,可知第一包糖中有奶糖25%×2x=0.5x，第二包糖中有水果糖50%×3x＝1.5x。巧克力糖共有（2x+3x）×28%=1.4x,设第一包糖中有巧克力糖m，则有：m2=2×1.4x-m3,解得m=0.8x，故第一包糖中有水果糖2x-0.5x-0.8x=0.7x，水果糖的总比重为（0.7x+1.5x）÷（2x+3x）×100%=44%，答案为C。
6.A［解析］ 把参赛的女生人数看作单位“1”，由条件“参加竞赛的女生比男生多28人”可知：男生再增加28人便与单位“1”的量相同了。因为男生全部获奖，女生只有（1-25％）＝75％的人获奖，所以，获奖总人数42人再添上28人，即：42+28＝70（人），对应的分率就是1+75％。故参赛女生人数为：70÷（1+75％）＝40（人），全年级学生人数是：（40+40-28）÷25＝130（人）。故本题答案为A。
7.B［解析］ 采用倒推法，就得到原来罐内共有硬币10÷（1-12）÷（1-13）÷（1-14）÷（1-15）÷（1-16）÷（1-17）÷（1-18）÷（1-19）÷（1-110）＝100（个）。故本题选B。
8.D［解析］ 本题采取倒推法，列表如下：
变动次数第三次后第二次后第一次后初始情况甲的苹果数8121015乙的苹果数8461因此，本题正确答案为D。
9.B［解析］ 在10克糖未取出前，甲包糖占总质量的45，从甲包取出10克放入乙包后，甲包糖占总质量的712，这就是说比原来减少了45-712＝1360，这正好是10克糖对应的份数，这也就是说10克糖占总质量的1360，故总质量是10÷1360＝60013＝46213（克）。故本题应选B。
10. D［解析］
7÷（1-59-59×920）＝7÷736＝36（米）。
故本题选D。
11. B［解析］ 设C种酒精有x升，那么B种酒精有（3+x）升，A种酒精有（11-3-x-x）升，根据题意，有(11-3-x-x)×40%+（3+x）×36%+x×35%＝11×38.5%，解得x=0.5（升），故A种酒精有11-3-0.5-0.5＝7（升），本题选B。
12. A［解析］ 三人合抄只需8天完成，故三人合抄1天可完成18；甲的工作效率等于乙、丙的工作效率之和，因此甲的工作效率为18÷2＝116；丙的工作效率相当于甲、乙的15,即总效率的16,因此丙的工作效率为18×16＝148,故乙的工作效率为18-116-148＝124，乙单独抄需24天，本题答案为A。
13. B［解析］ 因为甲管注水速度是乙管的一半，所以一根乙管相当于2根甲管。因此，实际上是相当于3根甲管12小时可将游泳池注满，设满池水为“1”个单位，则甲管1小时可注水136，乙管1小时可注水118，所以甲管的注水时间为：
（1-9×118）÷136＝12×36＝18（小时）。
故本题正确答案为B。
14. C［解析］ 本题解决的关键是将5个工人2天加工135个零件，其中有1个因事请假，转化为5×2-1＝9（个）工人1天加工135个零件。
经分析可知，9个工人1天加工135个零件，那么每个工人每天加工零件135÷9＝15（个）。
所以5个工人完成剩余零件需要（735-135）÷15÷5＝600÷15÷5＝8（天）。
故本题正确答案为C。
15. B［解析］ 把乙校学生数看作标准量“1”，则甲校学生数是1×40％，甲校女生数是1×40％×30％。
两校的女生总数为1×40％×30％+（1-42％）＝70％；
两校总人数为1+1×40％＝140％；
故两校女生总人数占两校学生总数的百分比是70％÷140％＝50％。
因此，本题正确答案为B。
