满分挑战
1.今年，小明的父母年龄之和是小明的6倍。4年后小明的父母亲年龄之和是小明的5倍。已知小明的父亲比他母亲大2岁。那么，今年小明父亲多少岁？（）
A. 37B. 40C. 57D. 72
2.某种考试已举行了24次，共出了试题426道，每次出的题数有25题，或者16题，或者20题，那么其中考25题的有多少次？（）
A. 4B. 2C. 6D. 9
3.如图所示，有一只蚂蚁在正方体某条棱的A处，它想尽快地游览完正方体的各个面，然后回到A处，如果正方体的棱长为10cm，则这只蚂蚁通过的最短路程为（）。
A. 55cmB. 302cm
C. 120cmD. 425cm
4.一次国际象棋比赛，有10名选手参加，每名选手都要与其他选手比赛一次，选手们的得分全不一样。已知：
（1）第一名选手和第二名选手一次都没有输；
（2）前二名的总分比第三名选手多10分；
（3）第四名选手与最后四名选手的得分和相等。
（每局棋胜者得1分，负者得0分，平局每人得0.5分）
请问：从第一名到第六名共得分数为（）。
A. 46B. 25C. 18D. 39
5.甲、乙二人分蛋糕，甲先切去蛋糕的13，乙再切去剩下的12；甲又切去剩下的13，乙再切去剩下的12……这样两人分别切了四次。问：甲、乙二人谁分到的蛋糕多？（）
A. 甲B. 乙C. 同样多D. 不能判断
6.若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没装棋子。小光趁小明不在时偷偷从每个有棋子的盒子中各拿了一个棋子放在空盒中，然后把盒子重新排了一下。小明回来后仔细查看一番，没发现有人动过这些盒子和棋子。问：共有多少个盒子？（）
A. 8B. 11C. 13D. 18
7.如是2003除以一个两位数后，所得余数最大，则这个两位数为（）。
A. 92B. 82C. 88D. 96
8.某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有多少种不同的染色方法？（）
A. 2400B. 4860C. 1920D. 5760
9.用长16厘米的铁丝围成各种长方形（长、宽均为整数，且长和宽不相等），围成的最大的一个长方形的面积是多少平方厘米？（）
A. 16B. 15C. 12D. 9
10. 甲、乙、丙三人对小强的藏书数目作了一个估计，甲说：“他至少有一千本书。”乙说：“他的书不到一千本。”丙说：“他最少有一本书。”这三个估计中只有一句是对的。问：小强究竟有多少本书？（）
A. 0B. 1C. 1000D. 大于1000
参考答案
1.A［解析］ 设小明的年龄为x，则父母年龄之和为6x。4年后，小明增加4岁，而父母年龄之和增加2个4岁。故5×（x+4）=6x+8，x＝12。所以小明父亲的年龄为（72+2）÷2=37(岁)。
2.B［解析］ 假设24次考试，每次16题，则共考16×24＝384（道），比实际考题数少426-384＝42（道），也就是每次考25题与每次考20题，共多考的题数之和为42道。而考25题每次多考25-16＝9（道），考20题每次多考20-16＝4（道）。这样有9×A+4×B＝42，其中A表示考25题的次数，B表示考20题的次数。根据数的奇偶性可知，B无论是奇数还是偶数，4B总是偶数，那么9A也是偶数，因此A必定是偶数，且A不是2就是4。如果A＝4，则9×4+4×B＝42，B＝1.5不合题意，应删去，所以考25道试题的次数是2次。
3.B［解析］ 要选择最短的路程，蚂蚁应该尽量避开顶点。考虑到两点之间线段最短，应该想办法将正方体展开在一个平面上。将正方体的6个面记为前、后、左、右、上、下。将这个正方体展开成平面图，如右图所示。由A点在前面与上面的棱的某处，可以确定A和A′的位置。连接AA′，即为蚂蚁该选择的最短路线。同时从图也可以看出，蚂蚁选择的路线是与棱成45°角的直线，我们将平面图再还原到正方体上，在正方体上的过A点的那条折线即为蚂蚁所能选择的最短路线，即AA′＝302+302＝302（cm）。
4.D［解析］ 单循环赛，每人赛9盘棋，所以最高分9分，前两名都没有输，说明没有全胜的人。所以，最高分最多85分。
那么，第二名最多8分，第三名最多85+8-10＝65（分），第四名最多6分。
后四名选手之间要赛4×3÷2＝6（盘）。
每盘出现1分，这四人之间要累计6分，那么这四人的总分至少要有6分，就是说第四名的分数至少是6分。
比较“第四名最多6分”、“第四名的分数至少是6分”，可知第四名的得分应该是6分。
由此可知：第三名65分，第四名6分，第一名是85分，第二名是8分，后四人最后总分是6分。
10名选手的循环赛总盘数是12×10×（10-1）＝45，总分是1×45＝45（分）。故第一到第六名共得的分数为45-6＝39（分）。所以本题选D。
5.C［解析］ 依题意分析：
第一次：甲分得蛋糕：13
乙分得蛋糕：（1-13）×12＝13
第二次：甲分得蛋糕：（1-13-13）×13＝19
乙分得蛋糕：（1-13-13-19）×12＝19
第三次：甲分得蛋糕：（1-13-13-19-19）×13＝127
乙分得蛋糕：（1-13-13-19-19-127）×12＝127
……
依次可类推，n次后甲、乙分得蛋糕始终相同。因此，本题正确答案为C。
6.B［解析］ 原来有一个空盒，现在也应有一个空盒，而这个空盒原来应放着1个棋子；现在放着1个棋子的盒子原来放着2个棋子；现在放着2个棋子的原来放着3个棋子……依次类推得到，原来的盒子中分别放着0，1，2……个棋子。已知棋子总数是50多个，前n个自然数的和只有1到10的和55在这个范围，所以共有11个盒子。
7.D［解析］ 2003÷99＝20……23
23+20×3＝83
所以商是20时，余数最大是83，此时除数是99-3＝96。
2003÷95＝21……8
8+21×3＝71
所以商是21时，余数最大是71，此时除数是95-3＝92。
2003÷91＝22……1
1+22×3＝67
所以商是22时，余数最大是67，此时除数是91-3＝88。
2003÷87＝23……2
2+23×3＝71
所以商是23时，余数最大是71，此时除数是87-3＝84。
当除数小于84时，余数小于83。
综上所述，余数最大是83，此时除数＝96。
8.B［解析］ 把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G（如图1）。为了便于观察，可以把图1改画成图2（相邻关系不改变）。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3＝4860（种）不同的染色方法。
9.B［解析］ 设长方形的长为a，宽为b，则这个问题就是求已知a+b＝8、且a≠b时，a×b的最大值。为了便于观察，我们分析如下：
8＝1+7→1×7＝7；8＝2+6→2×6＝12；
8＝3+5→3×5＝15；8＝4+4→4×4＝16；
8＝5+3＝5×3＝15；8＝6+2＝6×2＝12；
8＝7+1＝7×1＝7。
我们发现当a从小到大取值，而b从大到小取值时，a与b的积呈现这样一个变化趋势：就是先由小到大，再由大到小，中间是最大的，也就是a与b取的数越接近，它们的乘积就越大。当a＝b时，a×b的值最大。由此，得出一条规律：
如果a+b一定，只有当a＝b时，a与b的乘积才最大。
由上面的讨论可知，在a+b＝8，且a≠b中，当a＝3，b＝5时，a×b的最大值是：3×5＝15。
所以，所围成的最大的一个长方形的面积是15平方厘米。故本题正确答案为B。
10. A［解析］ 因为本题的三个估计中只有一句是对的，因此可以此为突破口，提出假设，进行推理，找出符合要求的结论。
①假设甲说的话真，那么乙、丙两人说的话假。由甲话真，推出小强至少有一千本书；由丙话假，推出小强一本书也没有。
这两个结论相互矛盾，所以假设错误。
②假设乙说的话真，那么甲、丙两人说的话假。由乙话真，推出小强的书不到一千本；由甲话假，也推出小强的书不到一千本；由丙话假，推出小强一本书也没有。
这三个结论没有发生矛盾，所以假设成立。
③假设丙说的话真，那么甲、乙两人说的话假。由甲话假，推出小强的书不到一千本；由乙话假，推出小强的书超过一千本。
这两个结论相互矛盾，所以假设错误。
综上所述，只有第②种假设成立，推出小强的书是零本。故本题正确答案为A。
