专题四行程问题
考点·技法清单
基本公式：距离＝速度×时间
运动时间相等，运动路程与运动速度成正比
运动路程相等，运动速度与运动时间成反比
路程比=速度比×时间比，即：s1s2=v1v2×t1t2
往返运动平均速度关系式：=2v1v2/（v1+v2）
相遇追及问题：有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。有碍于相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。
相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间
追及距离=（大速度-小速度）×追及时间
环形运动问题：
环形周长=（大速度+小速度）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔
环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔
流水行船问题：
顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间
逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间
电梯运动问题：
能看到的电梯级数＝（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间
能看到的电梯级数＝（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间
基础过关自测
1.一辆汽车从A城开往B城，第一小时行了全程的14，第二小时行了余下路程的25，第三小时比第一小时多行310，离B城还有30千米。A城与B城相距（）。
A. 180千米B. 200千米C. 240千米D. 320千米
2.汽车往返于A、B两地，去时时速为40千米。要想来回的平均速度为48千米，回来的时速应为多少千米/小时？（）
A. 56B. 60C. 72D. 96
3.甲、乙两辆旅游车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇。相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地，乙车每小时行24千米。问：A、B两地相距多少千米？（）
A. 96B. 106C. 144D. 224
4.一辆卡车和一辆大客车从相距320千米的两地相向而行，已知卡车每小时行45千米，大客车每小时行40千米。如果卡车上午8时开出，大客车要何时开出两车才能在中午12时相遇？（）
A. 8时15分B. 8时20分
C. 8时30分D. 8时35分
5.两辆汽车同时从A、B两站相对开出，在B侧距中点20千米处两车相遇，继续以原速前进，到达对方出发站后又立即返回，两车再在距A站160千米处第二次相遇。求A、B两站距离是多少？（）
A. 440千米B. 400千米C. 380千米D. 320千米
6.操场正中央有一旗杆，小明开始站在旗杆正东离旗杆10米远的地方，然后向正北走了10米，再左转弯向正西走了20米，再左转弯向正南走了30米，再左转弯向正东走了40米，再左转弯向正北走了20米。这时小明离旗杆多少米？（）
A. 10B. 20C. 30D. 40
7.在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持20千米/小时，下坡的速度保持30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶4小时，问两个山村之间的距离是多少千米？（）
A. 45B. 48C. 50D. 24
8.早晨，小明背着书包去上学，走后不久，爸爸发现小明的铅笔盒忘在家中。爸爸立刻去追赶小明，将铅笔盒交给小明后立刻返回。小明接到铅笔盒后经过10分钟到达学校，同时爸爸也正好返回到家中，已知爸爸的速度是小明速度的4倍。那么小明从家出来后多少分钟，爸爸才出发去追赶小明？（）
A. 40B. 50C. 20D. 30
9.甲和乙从东西两地同时出发，相对而行，甲每小时走55千米，乙每小时走45千米。甲带了一只狗，同时出发，狗以每小时12千米的速度向乙奔去，遇到乙后，马上回头向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲乙两人相距20千米时狗才停止奔跑，这时狗共奔跑了96千米。东西两地间的距离是多少千米？（）
A. 116B. 100C. 80D. 76
10. 李大夫去山里给一位病人出诊，他下午1点离开诊所，先走了一段平路，然后爬上了半山腰，给那里的病人看病。半小时后，他沿原路下山回到诊所，下午3点半回到诊所。已知他在平路步行的速度是每小时4千米，上山每小时3千米，下山每小时6千米。请问：李大夫出诊共走了多少路？（）
A. 5千米B. 8千米C. 10千米D. 16千米
参考答案
1.C［解析］ 第二小时行了全程的：（1-14）×25＝310,第三小时行了全程的：14×（1+310）＝1340，此时还剩下全程的：1-14-310-1340＝18，故A、B两城相距：30÷18＝240（千米）。本题正确答案为C。
2.B［解析］ 设A、B两地的距离为S，则回来的时速应为：
S÷（2S÷48-S÷40）＝48×40S÷（2×40S-48S）＝60（千米/小时）
因此，本题正确答案为B。
3.D［解析］ 乙车4小时走的路程，甲车用了3小时，故v甲v乙＝t乙t甲＝43，又知v乙＝24（千米/时），则v甲＝43×24＝32（千米/时），A、B两地相距为32×（4+3）＝224（千米），故选D。
4.C［解析］ 设大客车行了x小时，根据题意有：45×4+40x＝320，x＝3.5，即大客车共行驶35小时，则大客车的出发时间为12-35＝85，即8时30分，故选C。
5.A［解析］ 设AB的距离为S，因为两车的速度不变，则有S+202S+2S-160=S-202S+160，解得S＝440（千米）,故本题选A。
6.C［解析］ 本题属于方位问题类，难度不大，画图如下：
则这时小明离旗杆：40-10＝30（米），故选C。
7.B［解析］ 设两地距离为S，那么有S20+S30=4，解得S=48（千米）,故应选B。
8.D［解析］ 分析题意可知，爸爸追上小明用了10分钟，而爸爸的速度是小明的4倍，故爸爸追上小明时小明共走了40分钟，在爸爸出发前小明已走了40-10＝30（分钟），本题选D。
9.B［解析］ 本题中，这只狗共跑了96÷12＝8（小时），则甲、乙共走了（55+45）×8＝80（千米），由此，可知甲、乙两地的距离为80+20＝100（千米），故选B。
10. B［解析］ 李大夫的行程分为平路和山路，可分别设x千米和y千米，列方程得：
24x+13y+16y=3.5-0.5-1
（6x+4y+2y）÷12=2
x+y=4
李大夫走了一个来回，共走了8千米。
重点易错题集训
1.早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去，两辆汽车的速度都是每小时60千米。8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍。到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？（）
A. 8点7分B. 8点11分
C. 8点15分D. 8点22分
2.如图，甲、乙、丙是三个站。乙站到甲、丙两站的距离相等，小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到丙站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问甲、丙两站的距离是多少米？（）
A. 450B. 518C. 600D. 750
3.一个人原计划骑自行车由甲地去乙地，后来改为前一半路乘汽车，后一半路步行。汽车速度是自行车速度的2倍，步行的速度是自行车速度的一半，自行车速度为每小时10千米。求行这段路的平均速度是多少？（）
A. 5千米/小时B. 8千米/小时
C. 12千米/小时D. 18千米/小时
4.如下图，A、C两地相距2千米，CB两地相距5千米。甲、乙两人同时从C地出发，甲向B地走，到达B地后立即返回；乙向A地走，到达A地后立即返回。如果甲速度是乙速度的15倍，那么在乙到达D地时，还未能与甲相遇，他们还相距05千米，这时甲距C地多少千米？（）
A. 1.4B. 1.9C. 2.3D. 3.3
5.两辆汽车同时从A、B两城相向而行，在离A城52千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离A城44千米处相遇。两城相距多少千米？（）
A. 78B. 82C. 96D. 100
6.张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行5千米；而李军第一小时行1千米，第二小时行3千米，第三小时行5千米……（连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙两地相距多少千米？（）
A. 50B. 40C. 36D. 25
7.甲、乙两地相距100千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲地开往乙地，汽车出发时，拖拉机已开出15千米；当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有10千米。那么，汽车是在距乙地多少千米处追上拖拉机的？（）
A. 70B. 55C. 40D. 30
8.某人从甲城到乙城，两城相距24千米，步行一半路程后改骑自行车，共经4小时到达。回来时，仍一半路步行，一半路乘摩托车，而步行的速度是原速度的34，摩托车的速度比自行车的速度提高1倍，但仍比去时多用了30分钟才回到甲城。则原来步行与自行车的速度之比为（）。
A. 2∶3B. 1∶3
C. 2∶7D. 4∶9
9.某人乘船逆流而上，在途中不慎将一救生圈掉入水中，在继续前进了20分钟后才发现，于是返回追寻。待追到救生圈时，它已经顺流而下漂到距离落水处2千米的地方。请问，此人从发现救生圈丢失到找回救生圈共用了多长时间？（）
A. 25分钟B. 24分钟
C. 20分钟D. 18分钟
10. 跑马场一周之长为1080米。甲、乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过54分钟后，甲追上了乙。如果甲每分钟减少50米，乙每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟后两人相遇。原来甲、乙两人每分钟各行多少米？（）
A. 200180B. 360240C. 240200D. 240180
11. 如右图，两只小爬虫甲和乙从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇；在离A点16厘米的G点第三次相遇。求长方形的边AD是多少厘米？AB边长多少厘米？（）
A. 2436B. 4854
C. 3648D. 4864
12. 在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。求甲追上乙需多少秒？（）
A. 100B. 130C. 140D. 150
13. 两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分钟速度是20米。甲、乙两车同时分别从相距90米的A、B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，当它到达B点时，甲车过B点，又回到A点，此时甲车立即返回。问再过多少分钟能与乙车相遇？（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
14. 一条小河流过A、B、C三镇，A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米，B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时35千米。已知A、C两镇水路相距50千米，水流速度为每小时15千米。某人从A镇上乘汽船顺流而下到B镇，吃饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用8小时。那么，A、B两镇的水路路程是多少千米？（）
A. 22B. 25C. 37.5D. 50
15. 一客轮从沙市顺流而下开往武汉需要2天，从武汉逆水而上开往沙市需要3天。一木筏从沙市顺流需要多少天到达武汉？（）
A. 8B. 12C. 15D. 22
参考答案
1.B［解析］ 设8点32分时，第二辆汽车距离化肥厂s千米，那么第一辆汽车距离为3s千米。8点39分时各又开了7千米，故有3s+7＝2（s+7），解得s＝7,故8点32分时第一辆汽车已开出21千米，用时21分钟，因此离开化肥厂的时间是8点11分。答案为B。
2.C［解析］ 设甲到乙的距离为s，则小明第一次走了（s+100）米，第二次走了（s-100+s+300＝2s+200）米，小强第一次走了（s-100）米，第二次因为是被追上的，故走了100+300＝400（米）。根据题意，有s+100s-100=2s+200400,解得s＝300,故甲丙相距300×2＝600（米），本题答案选C。
3.B［解析］ 设全程的一半为S，则这段路的平均速度为：
2S÷［S÷（10×2）+S÷（10÷2）］＝40S÷［S+4S］＝8（千米/小时）
因此，本题正确答案为B。
4.B［解析］ 由甲速是乙速的15倍，可知甲路程是乙路程的15倍。设CD距离为x千米，则乙走的路程是（4+x）千米，甲路程为（4+x）×15千米，根据题意有：（4+x）×1.5＝5×2-x-0.5，解得x＝1.4，此时甲距C地：1.4+0.5＝1.9（千米），本题正确答案为B。
5.D［解析］ 设AB的距离为S千米，因为两车的速度不变，则有52S-52=S+S-44S+44，解得S=100,故本题答案为D。
6.A［解析］ 解答此题的关键是求相遇时间。由于两人在中点相遇，因此李军的平均速度也为每小时5千米。“5”就是几个连续奇数的中间数。因为5是1，3，5，7，9这五个连续奇数的中间数，所以，从出发到相遇经过了5小时。甲、乙两地距离为5×5×2＝50（千米）。故本题正确答案为A。
7.C［解析］ 设汽车在距乙地x千米处追上拖拉机，画线段图如下：
根据两车速度不变，可知在同样时间内两车行程的倍数不变，则有：100-x100-x-15＝100100-15-10，解得x＝40。故本题正确答案为C。
8.B［解析］ 设原来步行一半路程需要x小时，后来步行一半路程则需要43x小时。又设自行车行一半路程需要y小时，则摩托车行一半路程需要12y小时。根据题意，得：
x+y＝4
43x+12y＝412解得x＝3
y＝1
原来步行的速度为：12x＝123＝4（千米/时）；
自行车的速度为：12y＝121＝12（千米/时）。
二者之比为1∶3，故本题正确答案为B。
9.C［解析］ 设水流速度为每分钟x千米，船速为每分钟y千米，追回救生圈用时t分钟。根据题意可得下图：
由上图，可得方程：xt+20x+(y-x) ×20=(y+x)t，可得t=20。故此人从发现救生圈丢失到找回救生圈共用了20分钟，答案选C。
10. A［解析］ ①现在甲、乙每分钟共行：1080÷3＝360（米）。
②设甲现在每分钟行x米，则原来每分钟行（x+50）米；乙现在每分钟行（360-x）米，原来每分钟行（360-x-30）米。列方程得：
（x+50）×54-（360-x-30）×54＝1080，解得x＝150
甲原来每分钟行：150+50＝200（米）；
乙原来每分钟行：360-150-30＝180（米）。
故本题正确答案为A。
11. D［解析］ 设AD＝BC＝x厘米，AB＝CD＝y厘米，则乙虫第一次相遇时走了（x+y+32）厘米，第一次相遇后到第二次相遇时又走了［（x-32）+y+x+16］厘米。由于每次相遇时，两虫合起来走了一周，因此，两虫每次相遇时走的路程均相等。列方程得：x+y+32＝（x-32）+y+x+16，x＝48。
同理，甲虫第一次相遇时走了（y+x-32）厘米，第二次相遇到第三次相遇时走了（16+x+16）厘米，列方程得：y+x-32＝16+x+16，y＝64。
故长方形的边AB长64厘米，AD长48厘米，所以本题正确答案为D。
12. C［解析］ 如果甲、乙两人不停地跑，可以计算出甲追上乙的时间，再加上中间停留的时间就是所求时间。
如果甲、乙跑步不停留，甲追上乙需要100÷（5-4）＝100（秒）；
甲跑100秒，共跑5×100＝500（米）；
他在跑出100米、200米、300米、400米处共停留了4次，到了500米处恰好追上乙，不必计停留时间。所以求甲追上乙需要的时间是100+4×10＝140（秒）。因此，本题正确答案为C。
13. B［解析］ 如右图，设第一次甲车与乙车相遇点是C点，根据题意，乙在BC弧上往返一次所需时间就是甲车行驶圆形道一圈所需时间：360÷20＝18（分钟）。
它们自出发点至C点，各自行驶了18÷2＝9（分钟）。
从B点顺时针到C点的路程是360-90-20×9＝90（米）。
乙车速度是每分钟90÷9＝10（米），
则所求时间90÷（20+10）＝3（分钟）。
故本题正确答案为B。
14. B［解析］ 设从A镇到B镇行了x小时，列方程得：
50-（11+1.5）x＝（3.5+1.5）×（8-x-1），x＝2
A、B两镇的水路路程是：（11+1.5）×2＝25（千米）。
故本题正确答案为B。
15. B［解析］ 设水流速度为每天x个长度单位，客轮在静水中的速度为每天y个长度单位，列方程得：（y+x）×2＝（y-x）×3，y＝5x
沙市到武汉的水路长：（5x+x）×2＝12x（个单位）；
木筏从沙市顺流而下到武汉所需天数为：12x÷x＝12（天）。
故本题正确答案为B。
