专题六计数问题
考点·技法清单
计数问题模块包括容斥原理、排列组合、概率问题、抽屉原理、指数增长等五种题型，具体解题技巧如下表所示：
初等数学常用解题技巧
容斥原理容斥原理问题一般可用文氏图示意法，用图形来表示集合关系，更加形象直观容斥原理公式两个集合： |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|三个集合：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|排列组合排列公式：Prn＝n（n-1）…（n-r+1）＝n！（n-r）！
组合公式：Crn＝Arnr！＝n！r！（n-r）！
组合恒等式：Crn=Cn-rn;Crn+1=Crn+Cr-1n
相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视其为一个整体与剩余元素全排列
不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中概率问题单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数
总体概率=满足条件的各种情况概率之和
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积抽屉原理抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个物品就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。处理数学运算当中的抽屉原理问题最常用方法是运用“最不利原则”指数增长如果一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，1个周期前应该是当时的1A。
基础过关自测
1.在六年级96个学生中，调查会下象棋和会打乒乓球的人数，发现每个学生至少会一种。调查结果是，有712的学生会下象棋，有14的学生两样都会，求会打乒乓球的有多少学生？（）
A. 40B. 72C. 80D. 64
2.王强和李辉两人合租一套房子，客厅、厨房和厕所是两家合用的，在登记住房面积时，两人在登记表上填了如下数字：（单位：平方米）
姓名客厅居室厨房厕所总面积王强181810652李辉182010654那么，他们租的这套房子共有多少平方米？（）
A. 70B. 78C. 80D. 72
3.用1个5分币、4个2分币、8个1分币买了一张蛇年8分邮票，共有多少种付币方式？（）
A. 5B. 7C. 10D. 15
4.红光小学五年二班选两名班长。投票时，每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？（）
A. 12B. 24C. 42D. 43
5.有红、黄、蓝、白色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出小球5个，其中，至少有几个小球的颜色是相同的？（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.幼儿园买来了不少兔、狗、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证总有两个选择的玩具相同？（）
A. 4B. 7C. 9D. 11
7.五年级（1）班全体学生42人开展第二课堂活动，他们从学校大队部借来图书222本，规定每人借的书不得超过6本。至少有几个学生借足6本书？（）
A. 8B. 12C. 17D. 23
8.一游人匀速在小路上散步，从第1棵树走到第12棵树用了11分钟，如果这个游人走了25分钟，应走到第几棵树？（）
A. 26B. 23C. 28D. 30
9.甲读一本书，已读与未读的页数之比是3∶4，后来又读了33页，已读与未读的页数之比变为5∶3。这本书共有多少页？（）
A. 152B. 168C. 224D. 280
10. 用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？（）
A. 6B. 6.5C. 7D. 7.5
参考答案
1.D［解析］ 会下象棋的：96×712＝56（人）
下象棋和打乒乓球都会的有：96×14＝24（人）
只会打乒乓球的有：96-56+24＝64（人）
故本题选D。
2.D［解析］ 依题意可得：他们租的房子的面积为52+54-（18+10+6）＝106-34＝72（平方米）。因此，本题正确答案为D。
3.B［解析］ 只用一种币值付的方法有2种（都用1分或都用2分）；只用1分和2分两种币值的方法有3种；只用1分和5分两种币值的方法有1种，三种币值都用上的有1种，共有（2+3+1+1）＝7（种）。
4.D［解析］ 从4名候选人中选出2名，共有C24＝6（种）不同的选法。将这6种选法当做抽屉，全班学生当做物品，至少有6×（8-1）+1＝43（件）物品。因此，本题正确答案为D。
5.A［解析］ 从最极端的情况想，因为只有4种颜色，因此至少有2个小球的颜色是相同的。因此，本题正确答案为A。
6.B［解析］ 从三种玩具中挑选两种，所有的选择有如下6种情况：2兔，2狗，2长颈鹿，1兔1狗，1兔1鹿，1狗1鹿。则至少有7名小朋友才能保证总有两个选择的玩具相同。因此，本题正确答案为B。
7.B［解析］ 要使借足6本书的学生尽量少，那么，借足5本书的学生要尽量多。因为222＝5×42+12，所以，至少有12个学生借足6本书。因此，本题正确答案为B。
8.A［解析］ 这个游人用11分钟走了12-1＝11（个）间隔，所以走两棵树之间一个间隔用时11÷11＝1（分钟）。
这人走了25分钟，共走了25个间隔，所以这个游人走了25分钟，应走到第25+1＝26（棵）树。因此，本题正确答案为A。
9.B［解析］ 设此书页数为x，则有37x+33＝58x，解得x＝168。
10. C［解析］ 61+9×110=7（厘米），故本题应选C。
重点易错题集训
1.某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人至多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？（）
A. 28B. 35C. 39D. 42
2.某校食堂今日供应茄子、鸡丁、辣椒三种菜色，规定每人最多只能选择两种不同的菜。请问，至少在几位同学中才一定有两个人选择了相同的菜色？（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.某次语文竞赛共有5道题（满分不是100分）。丁一只做对了（1）（2）（3）三题得了16分；于山只做对了（2）（3）（4）三题，得了25分；王水只做对了（3）（4）（5）三题，得了30分；马强只做对了（1）（4）（5）三题，得了28分；张灿只做对了（1）（2）（5）三题，得了21分，李明5个题都做对了，他得了多少分？（）
A. 40B. 58C. 55D. 37
4.舰船信号可以用不同颜色的旗子表示，每次悬挂旗子的数量不定，但每种颜色的旗子只能有一面，且旗子的排列顺序不同代表的意义也不同。那么红、白、蓝三色旗能表示的信号种类比红、黄、蓝、白四色旗能表示的信号种类少了（）种。
A. 17B. 37C. 49D. 64
5.设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有（）种不同的值。
A. 8B. 15C. 17D. 19
6.某班有52名学生，其中正、副班长各一名，现选派5名学生参加某种课外活动，如果班长、副班长至少有一人在内，有多少种选派法？（）
A. 19600B. 460600C. 480200D. 2118760
7.要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至少有几个盒子中的球的数目相同？（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.某班有28人参加艺术选修课，其中14人选修绘画，9人选修小提琴，13人选修声乐。另有2人既选修声乐又选修绘画，有3人既选修声乐又选修小提琴。学校规定，每人最多选修两种课程。请问，既选修绘画又选修小提琴的有多少人？（）
A. 3 B. 2
C. 5D. 4
9.用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的？（）
A. 40B. 64C. 256D. 30
10. 某袋内有70个球，其中20个是红球，20个是绿球，20个是黄球，其余是黑球和白球。为确保取出的球中至少包含有10个同色的球，问最少必须从中取出几个球？（）
A. 28B. 38C. 18D. 52
11. 有一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各10只，问：最少要取多少只才能保证取出的袜子中至少有2双颜色不相同？（）
A. 2B. 10C. 13D. 23
12. 从2010到4219的整数中，十位数字与个位数字相同的数有多少个？（）
A. 219 B. 220 C. 221 D. 222
13. 某公司要从11名候选人中投票选举主任。如果每位员工只能投票选举两名候选人，那么至少要有多少名员工，才能保证一定有两个或两个以上的员工投相同的两名候选人的票？（）
A. 13名 B. 55名 C. 56名 D. 111名
14. 某校四年级（1）班的全体学生参加课外兴趣小组活动。参加数学奥林匹克辅导的学生比全班人数的一半还多2人，参加英文打字的学生比余下的一半还多4人，这时还剩下7名学生参加美术组活动。四年级（1）班共有多少学生？（）
A. 30B. 42C. 48D. 62
15. 食堂卖面包，第一天上午卖出总数的一半，下午卖出5个，第二天上午又卖出剩下的一半，下午又卖出5个，第三天上午卖出剩下的一半，下午又卖出5个，这时还剩下2个，食堂原有面包多少个？（）
A. 43B. 76C. 81D. 86
参考答案
1.B［解析］ 画出图示，因为“每人最多参加两科”，所以没有人参加三科竞赛。由图可知：
a+b≤28①
a+c≤23②
b+c≤20③
①②③相加可得：
2（a+b+c）≤28+23+20
所以a+b+c≤355
故本题选B。
2.D［解析］ 菜色选择的方案有以下几种：（1）茄子；（2）鸡丁；（3）辣椒；（4）茄子、鸡丁；（5）鸡丁、辣椒；（6）茄子、辣椒。最不巧的情况是有6位同学分别选择了上述六种方案，那么接下来的一位同学不管选择何种方案，均会和前6位中的一位选择一致，故至少在7位同学中才一定有两个人选择了相同的菜色，本题答案为D。
3.A［解析］ 根据题意：将丁一、于山、王水、马强、张灿5人合在一起，这样一来（1）（2）（3）（4）（5）这5个题每个题都做对了3遍，于是他们5个人的总分恰好是这份试题总分的3倍。由此可求出李明的得分。
5人得分总和是16+25+30+28+21＝120（分）
5道题满分是120÷3＝40（分）。
故本题选A。
4.C［解析］ 本题为排列问题。在三色旗的情况下，如果只悬挂一面，有3种情况；如果悬挂两面，共有3×2=6（种）情况；如果三面都悬挂，有3×2×1=6（种）情况，合计共有3+6+6=15（种）情况。同理，在四色旗的情况下，可表示的信号种类共有4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64（种）。由此可知，三色旗能表示的信号种类比四色旗少了64-15=49（种）。答案为C。
5.C［解析］ 72＝23×32
不妨设a被23整除。
（1）a＝8时，b＝9，9×2，9×4，9×8有4种。
（2）a＝8×3时，b有9，9×2，9×4，9×8有4种。
（3）a＝8×9时，b有11种，即1，2，4，8，1×3，2×3，4×3，8×3，1×9，2×9，3×9。
由于8+9×8，8×3+9×8，分别与8×9+8，8×9+8×3相等，所以a+b有4+4+11-2＝17（种）不同的值。
故本题正确答案为C。
6.C［解析］ 本题采用排除法可解。该班52名学生（包括正副班长）选派5人的选派法为C552；除去正、副班长的选派法为C550，则班长、副班长至少有一个在内的选派法为C552-C550＝480200（种），因此，本题正确答案为C。
7.C［解析］ 每盒放1，2，3，4，5，6，7个球
这样的七盒共放球：
1+2+3+4+5+6+7＝28（个）85÷28＝3……1
所以至少有4个盒中的球数相同。故本题正确答案为C。
8.A［解析］ 设既选修绘画又选修小提琴的有x人，根据题意可得下图：
根据上图，可得方程：14+（9-x）+(13-2-3)=28，解得x=3，故既选修绘画又选修小提琴的有3人，答案为A。
9.A［解析］ 物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。在10000位数中，共能截取出相邻的四位数：
10000-3＝9997（个）
即物品数是9997。
用1，2，3，4这四个数字可以组成的不同四位数，根据乘法原理有：
4×4×4×4＝256（种）
这就是说有256个抽屉。
9997÷256＝39……13
所以这些四位数中，至少有40个是相同的。
10. B［解析］ 根据题意，黑球和白球个数之和是（70-20×3）＝10（个）。所以同色的10个球只能是红色、绿色或黄色中的一种。假设袋子中只有红球、绿球和黄球三种球，把这三种颜色看做三只抽屉，每只抽屉中放9个球，就要取出9×3＝27（个）球，如果再多取一个球，就能保证至少有一只抽屉内有10个球，也就是至少有10个同色的球。因为袋中还有10个黑球和白球，取出球的个数只要再加10个，才能保证含有10个同色球。
9×3+1+（70-20×3）＝27+1+10＝38（个）
最少必须从袋子中取出38个球。故本题选B。
11. C［解析］ 从最极端的情况着手，如果先取出的是10只同色的袜子，那么至少还应取出n只袜子，才能凑成另一种颜色的一双。由于已经取走了10只同色的，因此只剩下两种颜色的袜子。由此可得如下解法：
用3只袜子放入两个抽屉里，至少有一只抽屉里放有两只同色的袜子，这样至少要取13只袜子才能保证达到题目要求。
12. C［解析］ 把所给的数的范围分成千位是2,3,4三类分别考虑。千位是2的：首先看百位是0的有2011,2022,2033,…,2099共9个；百位是1的则有10个，由此可知，千位是2的这样的数共有99个；千位是3的有100个；千位是4的共有（2×10+2）=22（个）。所以十位数字与个位数字相同的数共有99+100+22=221（个）。故本题选C。
13. C［解析］ 本题将排列问题与抽屉原理结合考查。从11名候选人中任选两名候选人，共有C211=11×10/2=55（种）选法，所以至少要有56名员工，才能保证一定有两个或两个以上的员工投相同的两名候选人的票。故本题选C。
14. C［解析］ 根据题中已知条件和所求问题，画线段图如下：
可以用倒推的方法进行思考：
（1）假如参加英文打字的人数正好是余下人数的一半而不多4人，那么余下人数的一半是7+4＝11（人）。由此可算出余下人数是11×2＝22（人）。
（2）假如参加奥林匹克数学的人数正好是全班人数的一半而不多2人，那么全班人数的一半是22+2＝24（人），由此可得全班人数是24×2＝48（人）。
故本题正确答案为C。
15. D［解析］ 本题属于典型的还原题型，适宜采用倒推法。
第三天：下午卖出前有面包5+2＝7
上午卖出前有面包7÷12＝14
第二天：下午卖出前有面包14+5＝19
上午卖出前有面包19÷12＝38
第一天：下午卖出前有面包38+5＝43
上午卖出前有面包43÷12＝86
即食堂原有面包为86个，故本题正确答案为D。
