第一篇考点·题型分类精练
第一章数学运算
本章根据数学运算题型的特点，分为计算问题、初等数学、比例问题、行程问题、几何问题、计数问题和趣味杂题七个专题。每个专题均包含35道精选试题，依据难度的不同划分为基础过关自测、重点易错题集训和满分挑战三个部分。在专题之前还有近五年国考、联考数学运算部分的考情分析以及对数学运算真题题源的追踪，为考生深刻理解数学运算、自主练习提供参考和指导。
考情提要
根据数学运算所考查的内容和侧重点的不同，可以把数学运算分为计算问题、初等数学、比例问题、行程问题、几何问题、计数问题和趣味杂题七个模块。近五年国考和近三年联考试题的数学运算题型题量统计如下表所示：
2007—2011年国考数学运算题型题量表
单位：道2007年2008年2009年2010年2011年总计计算问题—2———2行程问题1——124比例问题5571321计数问题3223212初等数学1412311几何问题221117趣味杂题3—42413题量151515101570从表中可看出，2011年国考数学运算题型的配比更加均匀，除计算问题依旧未考查外，其他六大题型的题量相差不大。一方面，题型分布不再像前几年那样容易使某类题型大幅占优（例如2009年比例问题），使得考查更加全面客观；另一方面，计数问题、初等数学等依旧是热门题型，几何问题题量也呈现出延续的态势，在一定程度上体现了国考的连续性特点。
2009-2011年联考数学运算题型题量表
单位：道2009.92010.42010.92011.4总计计算问题1—1—2比例问题—21—3行程问题11125几何问题12115计数问题133310初等数学22127趣味杂题4—228题量1010101040从表中可以看出，2009年联考侧重于考查趣味杂题，2010年4月和2010年9月联考的考查点相对2009年较为平均，较多的是计数问题。从整体上看，考查最多的是计数问题和趣味杂题以及初等数学，这几类题型在最近几次考试中均有考查。
真题追踪
数学运算的真题主要源自中小学奥数、数学竞赛试题，相对来说，公务员考试中数学运算的难度要小一些。考生可以从中增长技能、开阔眼界、获取灵感，通过练习这些竞赛试题，再与公考试题相比较，可以准确把握出题人意图等。
1.甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍，甲筐所剩的梨是个，乙筐所剩下的梨是个。
2.两个数相除，商3余10，被除数、除数、商、余数的和是163，被除数是，除数是。
3.李白提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，壶中原有斗酒。
4.某工程需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？
5.鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，问鸡与兔各有几只?
6.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005，这个多位数除以9余数是多少?
7.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）。
A. 768种B. 32种C. 24种D. 2的10次方种
8.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
9.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
10. 在一个600米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？
11. 甲乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么A、B两地相距多少千米?
12. 一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，刚好剩余1只船，求有多少只船？
13. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？
14. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？
15. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
16. 有10个外表一样的球，其中只有一个是次品，次品与正品重量不同，请你用天平只称三次，把次品找出来。
17. 一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
18. 某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？
19. 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
20. 一个狱卒负责看守人数众多的囚犯。吃饭时，他得安排他们分别坐在一些桌子旁边。入座的规则如下：
（1）每张桌子坐着的囚犯人数均相同；
（2）每张桌子所坐的的人数都是奇数。
在囚犯入座后，狱卒发现：
每张桌子坐3个人，就会多出2个人；
每张桌子坐5个人，就会多出4个人；
每张桌子坐7个人，就会多出6个人；
每张桌子坐9个人，就会多出8个人；
但当每张桌子坐11个人时，就没有人多出来。
那么，实际上一共有多少个囚犯？
参考答案
1.解：

如图可知，从两筐取出相等数目的梨后，甲筐剩下的个数恰好是乙筐的5倍，也就是比乙筐多4倍，甲筐比乙筐多(400-240)=160个，也就是乙筐剩下个数的4倍是160个，这样可以求出乙筐剩下的个数，然后就可求出甲筐剩下的个数。
乙筐剩下的个数=(400-240)÷(5-1)=40(个)；
甲筐剩下的个数=40×5=200(个)。
2.解：假设a÷b=3……10，说明a是b的3倍还多10。163是被除数、除数、商、余数的和，商和余数我们知道了，可以求出被除数和除数的和是：163-3-10=150。这样，被除数和除数有这样的关系。
根据图，我们很清楚地看出，如a减10后，a就是b的3倍，也就是从150中去掉10后，相当于b的1+3=4(倍)，这样就可以求出a和b了。
163-3-10=150；
150-10=140；
140÷(1+3)=35；
35×3+10=115；
故被除数是115，除数是35。
3.解：第三次见花前应有一斗；
第三次遇店前应有1÷2=12(斗)；
第二次见花前应有12+1=112(斗)；
第二次遇店前应有112÷2=34(斗)；
第一次见花前应有34+1=134(斗)；
第一次遇店前应有134÷2=78(斗)。
4.解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量。
即：甲乙的工作效率比是3∶2，甲、乙分别做全部的工程量的工作时间比是2∶3，时间比的差是1份，实际时间的差是3天，所以3÷（3-2）×2＝6（天），就是甲的时间，也就是规定日期，方程方法：［1/x+1/（x+3）］×2+1/（x+3）×（x-2）＝1，解得x＝6。
5.解：4×100＝400，400-0＝400，假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372，实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 ，这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6；
372÷6＝62，表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只，100-62＝38表示兔的只数。
6．解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除；
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除，10~19，20~29……90~99；
这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450 它又能被9整除；
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除；
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005；
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除； 200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后得出余数为0。
7.解：根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种。
综合两步，就有24×32＝768种。
8.解：假设一共有100人考试；
100-95＝5；
100-80＝20；
100-79＝21；
100-74＝26；
100-85＝15；
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）；
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）；
100-29＝71（及格的最少人数）；
及格率至少为71%。
9.解：把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）。
故最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。
10. 解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差；
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和；
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数；
（150-50）÷2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数；
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间；
600÷50=12分钟，表示跑得慢者用的时间；
两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
11. 解：原来甲、乙的速度比是5∶4；
现在的甲：5×（1-20%）＝4；
现在的乙：4×（1+20%）=4.8；
甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2；
总路程：10÷0.2×（4+5）＝450（千米）。
12. 解法一：设船数为X，则：
（15X+9）/18=X-1
15X+9=18X-18
27=3X
X=9
故，有9只船。
解法二： (15+9)÷（18-15）=8只船，每船坐18人时坐了8只船；
故共有8+1=9只船。
13. 解：把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少。
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）；
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁；
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁；
所以秦奋8岁，妈妈32岁。
14. 解：依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数x，一个是制盒底的铁皮张数y，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程。
两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数；列方程：x+y=150
16x×2=43y解得：x=86，y=64。制出的盒身数×2=制出的盒底数。
用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。
15. 解：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
16. 解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
17. 解：从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
18. 解：由“第二次取了余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元）。余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）。用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：［（1250+100）×2+50］×2=5500（元）。
还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。
19. 解：这是在鸡兔同笼问题基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛。这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）。
20. 解：2519个囚犯。
2519÷3＝839张桌子，剩下2个人；
2519÷5＝503张桌子，剩下4个人；
2519÷7＝359张桌子，剩下6个人；
2519÷9＝279张桌子，剩下8个人；
2519÷11＝229张桌子，刚好。