08×4×125×25的值为()。
A. 1B. 10C. 100D. 1000
【答案】 B
【解析】 08×4×125×25=（08×125）×（4×25）=10×10=100。
191+114+237+209+186+63的值为()。
A. 900B. 1000C. 1100D. 1200
【答案】 B
【解析】 191+114+237+209+186+63=（191+209）+（114+186）+（237+63）=400+300+300=1000。
三、提取公因式法
提取公因式法：从算式中提取公因式而改变计算方式，使得计算简单的方法。
例如：9×21+9×79=9×(21+79)=9×100=900。
【例6】 2009×20082008-2008×20092009的值是()。
A.-10B. 0C. 100D. 1000
【答案】 B
【解析】 20082008=2008×10001，20092009=2009×10001。
2009×20082008-2008×20092009=2009×2008×10001-2008×2009×10001=0。
【例7】 （2005年广州)（-2）2004+（-2）2005的值是()。
A. 22004B.-22005C.-22004D. 22005
【答案】 C
【解析】 am+am+n=am(1+an)。
（-2）2004+（-2）2005=（-2）2004+（-2）2004+1=（-2）2004［1+（-2）1］=22004（-1）=-22004。
核心提示
提取公因式法的数学原理是ab+bc=b(a+c)
四、数学公式法
数学公式法定义：使用常用数学公式简化计算的方法。
常用的数学公式：
平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)；
完全平方和公式：（a+b）2=a2+2ab+b2;
完全平方差公式：（a-b）2=a2-2ab+b2;
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
常用的三角函数公式
sin2θ+ cos2θ=1
tanθ= sinθcosθ
cotθ= cosθsinθ
tanθcotθ=1
sin0°=0,cos0°=1
sin30°=12,cos30°=32
sin45°=cos45°=22
tan45°=cot45°=1
sin60°=32,cos60°=12
sin90°=1,cos90°=0
【例8】 892+112+22×89的值是()。
A. 10000B. 12000C. 13000D. 14000
【答案】 A
【解析】 892+112+22×89
=892+112+2×11×89
=(89+11) 2
=1002
=10000
核心提示
使用平方和公式。
【例9】 （12-23）（12+23）的值是()。
A. -29B. -736C. 0D. 34
【答案】 B
【解析】 （12-23）（12+23）=(12) 2-(23) 2=14-49=-736,故应选B。
核心提示
使用平方差公式。
【例10】 （2006年江苏)-22×2-1+2(tan30°+cos45°)0=()。
A. -2B. -2+63C. 1+64D. -2+2
【答案】 D
【解析】 原式=-4×12+21=-2+2。
核心提示
使用三角函数的公式。
五、分组计算法
分组计算法：将原式中的各项按照特性进行重新分组，进而简化计算过程的方法。
【例11】 (2006年江苏)(12345＋51234＋23451＋45123＋34512)÷3的值等于()。
A. 22222B. 33333C. 44444D. 55555
【答案】 D
【解析】 12345,51234,23451,45123,34512,它们的个位,十位,百位,千位,万位的数字都是1,2,3,4,5的一个排列,因此个位数字的和=十位数字的和=百位数字的和=千位数字的和=万位数字的和=1+2+3+4+5=15,因此12345＋51234＋23451＋45123＋34512=15×11111,所以(12345＋51234＋23451＋45123＋34512)÷3=5×11111=55555。
【例12】 (2006年北京)1234+3142+4321+2413的值等于()。
A. 10110B. 11110C. 11210D. 12110
【答案】 B
【解析】 1234，3142，4321，2413这四个数字个位,十位,百位,千位都是1，2，3，4的一个排列。因此个位数字的和=十位数字的和=百位数字的和=千位数字的和=1+2+3+4=10，因此这四个数字的和是1111×10=11110，故应选B。
核心提示
分组计算不单包括上述的分组方法，提取公因子法、加减凑整和乘除凑整也是分组方法。
六、裂项相加法
裂项相加法的定义是将分数分解为两个分数的差，然后简化计算的过程。
数学原理是1ab=1b-a (1a-1b)
常见的方式有：
（1）1n×（n+1）=1n-1n+1
(2) mn×（n+m）=1n-1n+m
(3) n-1n=1-1n,n+1n=1+1n
【例13】 （2005年广州)11×4+14×7+17×10+110×13+…+197×100的值是()。
A. 13B. 1100C. 310D. 33100
【答案】 D
【解析】 b-aab=1a-1b。
原式＝14+14×7+17×10+110×13+…+197×100
=（31×4+34×7+37×10+…+397×100）×13
=（1-14+14-17+17-110+110-113+…+197-1100）×13
=（1-1100）×13=33100
核心提示
分裂相加法是比较特殊的方法，常见于分数的计算。
七、整体消去法
整体消去法定义：将相近的数字化为相同，然后将其作为整体进行抵消的方法。
【例14】 （2004年广州)计算19961997×19971996-19961996×19971997的值是()。
A. 0B. 1C. 10000D. 100
【答案】 C
【解析】 19961997×19971996-19961996×19971997
=（19961996+1）×19971996-19961996×（19971996+1）
=19971996-19961996=10000，故应选C。
【例15】 （2007年北京)（873×477-198）÷（476×874+199）的值是()。
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】 A
【解析】 （873×477-198）÷（476×874+199）
=［873×(476+1)-198］÷［476×(873+1)+199］
=(873×476+873-198）÷（476×873+476+199）
=(873×476+675）÷（476×873+675）
=1
核心提示
整体消去法的优势在于不需要计算具体数值而直接根据除法或者减法将整块消去。
数学原理是：
(a+b)/(a+b)=1
(a+b)-(a+b)=0
八、估算法
估算法定义：不进行详细计算，仅是用估计而得到答案的方法。
估算法常见方式：估算数值的大小，估算数值的数位，估算数值的正负。
核心提示
估算法较为适合选项差距较大的情况。
【例16】 （2007年北京)（873×477-198）/（476×874+199）的值是()。
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】 A
【解析】 因为三位数的乘积远大于三位数，所以（873×477-198）/（476×874+199）约等于（873×477）/（476×874），而（873×477）/（476×874）约等于1，故应选A。
【例17】 （2003年山东)063×25+0063×75的值是()。
A. 0063B. 0. 63C. 63D. 63
【答案】 C
【解析】 063×25的最高数位为个位，0063×75最高数位也是个位，而且两个个位数字相加的和肯定是小于20的，因此答案为C。
【例18】 （2005年广州)（-2）2004+（-2）2005的值是()。
A. 22004B.-22005C.-22004D. 22005
【答案】 C
【解析】 因为2004<2005,因此（-2）2004+（-2）2005肯定是负数，又因为（-2）2004+（-2）2005不等于（-2）2005，因此答案为C。
核心提示
数学计算问题常常有很多方法可以解决，应试者应按照自己的习惯快速答题，而不应该浪费时间在考虑选用哪种方法上。
本章真题自测
1962＋8×96＋16的值为()。
A. 1000B. 2000C. 10000D. 100000
2.已知13＋23＋33＋43＋53＋63＝441，则23＋43＋63＋83＋103＋123的值是()。
A. 3968B. 3188C. 3528D. 2848
3.算式1223×800×05×0125×90×001的值是()。
A. 312B. 348C. 570D. 286
4.231×597＋403×769＋597×769＋231×403＝()。
A. 45597B. 1×105C. 1×106D. 95769
5.甲、乙两个长方形的面积相等，甲的长与宽之比是5∶4，乙的长与宽之比是6∶5，甲、乙两个长方形的周长比是()。
A. 7622B. 9622C. 62D. 13611
6.某计算机厂在规定时间内生产一批计算机，如果每天生产140台，可以提前3天完成，如果每天生产120台，就要再生产3天才能完成，问规定完成的时间是多少天？()
A. 30B. 33C. 36D. 39
7.祖父年龄70岁，长孙20岁，次孙13岁，幼孙7岁，问多少年后，三个孙子的年龄和与祖父的年龄相等？()
A. 10B. 12C. 15D. 20
8.某学校学生排成一个方阵，最外层人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？()
A. 272B. 256C. 225D. 240
9.在下列a,b,c,d四个等周长的规则几何图形中，面积最大的和面积最小的分别是()。
A. a和cB. d和aC. b和dD. d和c
10. 足球比赛的积分规则为：胜一场记3分，平一场得1分，输一场不得分，一足球队在整个赛季的比赛中共需比赛14场，负5场，共得19分，那么这个球队胜了几场？()
A. 3B. 4C. 5D. 6
11. A、B、C、D、E五个小组开展扑克牌比赛,每个小组之间都要比赛一场,到现在为止A组已经比赛了4场,B组已经比赛了3场,C组已经比赛了2场,D组已经比赛了1场,问E组比赛了几场?()
A. 0B. 1C. 2D. 3
12. 上午8点，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。9点，二人相距54千米，二人继续前进，到上午11点，二人第二次相距54千米，已知甲每小时比乙多走3千米，那么A、B两地距离为()。
A. 100千米B. 108千米
C. 114千米D. 136千米
13. 在太阳光照射下,一根高为3米的竹竿，其影子长为3米,则一个半径为1米的球的影子最长为()。
A. 33米B. 433米C. 3米D. 332米
14. 李森在一次村委会选举中，需2/3的选票才能当选，当统计完3/5的选票时，他得到的选票数已达到当选票数的3/4，他还需要得到剩下选票的几分之几才能当选？()
A. 7/10B. 8/11C. 5/12D. 3/10参考答案及详解
1.C［解析］ 962＋8×96＋16＝962＋2×4×96＋42=(96+4) 2=10000。
2.C［解析］ 13+23+33+43+53+63=441，而23+43+63+83+103+123=13×23+23×23+33×23+43×23+53×23+63×23=（13+23+33+43+53+63）×23=441×8=3528，故应选C。
3.C［解析］ 1223×800×05×0125×90×001=383×800×12×18×90×1100=570，故应选C。
4.C［解析］ 231×597＋403×769＋597×769＋231×403＝（231×597＋597×769）＋（403×769＋231×403）＝（231+769）×597+（231+769）×403=（231+769）（597+403）=1000000=1×106,故应选C。
5.B［解析］ 若长方形长为a,宽为b，则其面积为ab,周长为2a+2b
解法如下：
方法一：
因为甲的长与宽之比是5∶4，所以我们设甲的长与宽分别是5x,4x，则甲的面积为20x2,周长为18x;
乙的长与宽之比是6∶5,所以我们设乙的长与宽分别是6y,5y。则乙的面积为30y2,周长为22y。
因为甲、乙两个长方形的面积相等，所以20x2=30y2，解得x=62y,因此甲、乙两个长方形的周长比为18x∶22y=96y∶22y=9622,故应选B。
方法二：
因为甲的周长为18x，乙的周长为22y,所以甲、乙周长之比应包含因子9和11，观察四个选项，只有B选项符合条件，因此选B。
6.D［解析］ 方法一：方程法。
设规定完成时间为x天。
如果每天生产140台，可以提前3天完成，即完成了140（x-3）
如果每天生产120台，就要再生产3天才能完成,即完成了120（x+3）
因为生产总量是相同的，因此140（x-3）=120（x+3），解得x=39,故应选D。
方法二：整除法。
注意数字140，这说明x+3可以被7整除 ，而四个选项中，只有39符合条件，故应选D。
7.C［解析］ 设过x年，三个孙子的年龄和与祖父的年龄相等。
x年之后，长孙的年龄是（20+x）岁，次孙的年龄是(13+x)岁，幼孙的年龄是(7+x)岁，祖父的年龄是（70+x）岁。
即（20+x）+(13+x)+(7+x)=70+x,解得x=15,故应选C。
8.B［解析］ 如果方阵每一排人数为n,则最外层人数为4（n-1）,总人数为n2。
因为方阵最外层人数是60人，即4（n-1）=60。因此这个方阵每排人数为16人。
所以总人数为162=256（人），故应选B。
9.D［解析］ 我们知道等周长情况下，圆的面积是最大的，而等周长的凸多边形，边越少，则面积越小，因此三角形面积最小。故应选D。
10. C［解析］ 设这个球队胜了x场,平了y场。
因此3x+y=19,而且x+y＝9。
我们将x=3，4，5，6，代入方程，一一验证，结果发现只有5符合，故应选C。
11. C［解析］ A组已经比赛了4场，说明A组与B、C、D、E这4个组都进行过比赛；
D组已经比赛了1场，则根据上一个条件，D组只与A组进行过比赛；
B组已经比赛了3场，则根据上一个条件，B组只与A，C，E组进行过比赛；
C组已经比赛了2场，则根据上面的条件，Ｃ组只能与A，B组进行过比赛；
所以E组与Ａ，Ｂ组进行过比赛。
12. B［解析］ 不妨设A、B两地距离为s千米,甲、乙两人速度分别为x千米/小时,y千米/小时
上午8点，甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，9点，二人相距54千米，说明走了1小时，两人之间距离为54千米。如图：
即s-(x+y)=54。
二人继续前进，到上午11点，二人第二次相距54千米, 说明走了3小时，两人之间距离为54千米，如图：
3x+3y-54=s。
又因为甲每小时比乙多走3千米，即x-y=3。
解得s=108。
13. B［解析］ 一个高为3米的竹竿，其影子长为3米，则影子长与实际高度之比为33，光线与水平面呈60°角，光线与竖直线呈30°角。如下图，L1、L2与球相切且与地平线成60°角，与地平线的交点分别为A、B,则AB为所求。过A向L2作垂线交L2于C，则AC＝直径＝２米，AB＝２sin60=232=433(米)。
14. C［解析］ 设总选票数为300，需2/3的选票才能当选，即得到200张选票才能当选。
当统计完3/5的选票时，他得到的选票数已达到当选票数的3/4，说明李森的得票数为
200×34=150（张），还需要50张票才能当选。
还剩下300×（1-35）=120张选票。
故还需得到的选票与剩余选票的比例为：50÷120=512，选C。
华图—广东省数量关系模块题库
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1.-1， 0， 27， ()。
A. 64B. 91C. 256D. 512
2.1, -2, 6, -24, ()。
A. 72B. 96C. 120D.-120
3.0， 3， 2， 5， 4， 7， ()。
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.1， 2， 6， 16， 44， ()。
A. 66B. 84C. 88D. 120
5.1992是24个连续偶数的和，问这24个连续偶数中最大的一个是几?()
A. 84B. 106C. 108D. 130
6.某商品标价为165元，若降价以9折销售，仍可获利10%（相对于进价），则该商品的进价为()元。
A. 135B. 136C. 140D. 145
7.两年前甲的年龄是乙的两倍，五年前乙的年龄是丙的三分之一，丙今年11岁，问今年甲多少岁?()
A. 12B. 10C. 7D. 5
8.甲与乙准备进行一个游戏：向空中扔三枚硬币，如果它们落地后全是正面向上或全是反面向上，乙就给甲钱；但若出现两正面一反面或两反面一正面的情况，则由甲给乙钱。乙要求甲每次给10元，那么，从长远来看，甲应该要求乙每次至少给()元才可考虑参加这个游戏。
A. 10B. 15C. 20D. 30
9.某次考试，赵、钱、孙、李四人的成绩统计如下：赵、钱、孙的平均分为91分，钱、孙、李的平均分是89分，赵、李的平均分是95分，那么赵得了多少分？()
A. 85B. 94C. 97D. 98
10. 小刚从一点开始向前走10米，然后右转60度，他再向前走10米，向右转60度，他继续这样走，最后回到了出发点，问小刚总共走了多少米？()
A. 40B. 50C. 60D. 70
11. 某次考试有52人参加，共考了5道题，每道做错的人数统计如下：
题号第一题第二题第三题第四题第五题做错人数46102039已知，每个人都至少做对1道题，做对1道题的有7人，5道题全都做对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多，那么做对4道题的人数是多少？()
A. 31B. 23C. 15D. 9
参考答案及解析
1.D［解析］ -1=11×(-1)，0=22×0，27=33×1，
11，22，33为幂次数列， -1，0，1为等差数列。
因此答案为：
44×2=512。
故应选D。
2.C［解析］
后项除以前项，得-2，-3，-4，这是一个等差数列，接下来的数字是-5，所以答案为-24×(-5)=120，故应选C。
3.A［解析］
3，-1，3，-1，3是周期数列，下一个数字应该是-1，所以答案是7-1=6，故应选A。
4.D［解析］ （1+2）×2=6，
（2+6）×2=16，
（6+16）×2=44。
这个数列的规律是相邻两项和的2倍等于第三项，因此答案为（16+44）×2=120，故应选D。
5.B［解析］ 列方程，设题目中最大的偶数为x，则最小的偶数就是x-（24-1）×2，则12(x+x-23×2) =1992。解此方程，得x=106，故应选B。
6.A［解析］ 设进价为x元，则打9折后售价为165×09=1485（元），仍可获利10%，说明x×10%=1485-x,解得x=135，故应选A。
7.A［解析］ 五年前乙的年龄是丙的三分之一，丙今年11岁，说明乙五年前的年龄是（11-5）÷3=2（岁）。那么两年前乙的年龄就是5岁，两年前甲的年龄是乙的两倍，那么两年前甲的年龄是2×5=10（岁），现在甲的年龄就是10+2=12岁。
8.D［解析］ 向空中扔三枚硬币，
它们落地后全是正面向上或全是反面向上的概率为2×（1/2×1/2×1/2）=1/4。
则出现两正面一反面或两反面一正面的概率是1-1/4=3/4。
从长远来看，甲至少得不赔钱，因此甲应该要求乙每次至少给10×3=30（元）才可以考虑参加这个游戏。
9.D［解析］ 设赵、钱、孙、李四人的分数分别为：x,y,z,w。
由赵、钱、孙的平均分为91分,得x+y+z=91×3 ……①，
由钱、孙、李的平均分是89分，得y+z+w=89×3……②，
由赵、李的平均分是95分，得x+w=95×2……③。
①-②,得x-w=91×3-89×3=(91-89)×3=2×3……④
③+④,得2x=2×95+2×3=2×(95+3),所以x=98,故应选Ｄ。
【提示】 解方程组的时候，我们不一定需要把所有的未知量都计算出来，只需要计算出我们需要的答案即可。
10. C［解析］ 因为小刚每次都向右转60度，且每次走的路程都相等，且最后回到原点，所以小刚走的路线构成一个正六边形，如下图：
所以小刚一共走了6×10＝60（米）。
故应选C。
11. A［解析］ 因为做对2道题和3道题的人数一样多，所以设做对2道和3道题的人数皆为x，做对4道题的人数为y。
由于该试卷中共有5道试题，而参加考试的共有52人，因此这次考试共有5×52=260道试题，根据统计表可知，全班同学共做对了260－（4＋6＋10＋20＋39）=181道试题。
注意到除做对了1道题和全做对的同学外，做对2道、3道、4道的人数总和为：52－（7＋6）=39，他们共做对了181－（7＋5×6）=144道题。
所以：
2x+y=39，
2x+3x+4y=144。解得x=4,y=31,故应选A。
所以，x70-x=0.60.8=34，解得x=30,故应选A。
使用十字交叉法解决分段计费问题
【例45】 （2006年国家)某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度0.50元，若每月用电量超过标准用电量，超出部分按基本价格的80%收费，某户九月份用电84度，共交电费39.6元，则该市每月标准用电量为()。
A. 60度B. 65度C. 70度D. 75度
【答案】 A
【解析】 设每月标准用电量为x度，则超额用电量为84-x度。
基本电费为每度0.5元，超标电费为每度0.5×80%=0.4（元），则平均电费为每度39.684=3370（元）。
则570270=x84-x，解得x=60，故应选A。
核心提示
注意：能够使用十字交叉法的分段计费问题是分两段的类型。
（四）经济问题
利润问题利率问题利润问题
制造类企业：
单个产品利润=售价-制造成本
多个商品利润=单个产品利润×产品数量
商业类企业：
单个商品利润=售价-进价
多个商品利润=单个商品利润×商品数量
利润百分比=利润进价×100%=售价-进价进价×100%
而它们共同的利润公式为：
利润=总收益-总成本
打折公式为：
1.减价就是直接地减少价格，以此来吸引消费者。比如定价为100元，按80元出售，就是减少20元。
售价=定价-减少的价格
2.打折就是直接按百分比来减少售价，打n折就意味着售价变为原来的n×0.1。
例如减价20％，就是按定价的（1-20％）＝80％出售，通常就称为8折，因此
售价=定价×折扣的百分数
3.返券的方法一般是消费者达到一定消费水平之后，给消费者进行减价。打折或者赠送消费券的形式，类似于分段计费问题。
核心提示
返券减法的打折大小并不是一个确定的值，而是一个区间。例如“买２００减１００活动”，那么打折的范围是５折到不打折，因为我们买２００的商品的时候，我们花费是100元，即等于这个商品打了５折，而我们买１99元的商品时候，花费还是１99元，等于没有打折。
【例46】（2006年广东)某商品按定价的 80%(八折)出售，仍能获得 20%的利润，问定价时期望的利润率是多少?()
A. 50%B. 40%C. 30%D. 20%
【答案】 A
【解析】 设定价为y,成本为x,则按定价80%出售，仍获得20%利润，用数学公式表示就是0.8y-x=0.2x,即售价－成本＝利润。因此，y=3x2。若按原价出售，则利润为y-x=3x2-x=x2,即利润率为50%，故应选A。
【例47】 （2006年广东)一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销售掉70%的商品，为尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打了多少折扣？()
A. 4折B. 6折C. 7折D. 8折
【答案】 D
【解析】 用十字交叉法，对利润进行配比。
设打折后每件利润为x元。
设每件商品成本为10元，按期望获得50%的利润来定价即售价为15元，每件利润为5元，总共获得82%的利润，说明平均每件获得利润为5×0.82=4.1（元）。未打折商品比例为70%，打折商品比例为30%，所以
则4.1-x0.9＝70%30%，解得x=2，说明售价为12元，1215=80%，即打了8折。故应选D。
【例48】 (2008年国考)某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折，付款时满400元再减100元，已知某鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5元，问这双鞋的原价为多少钱？()
A. 550元B. 600元C. 650元D. 700元
【答案】 B
【解析】 我们采用倒推法：
付款后的价格：384.5元；
返款前的价格：384.5+100=484.5（元）；
原来的价格：484.5÷95%÷85%=600（元）。
【例49】 （2006年浙江)商场促销前先将商品提价20%，再实行“买400送200”的促销活动（200元为购物券，使用购物券时不循环赠送）。问在促销期间，商品的实际价格是不提价前商品原价格的几折？()
A. 7折B. 8折C. 9折D. 以上都不对
【答案】 D
【解析】 如果明白返券减价法，那我们直接就选择答案Ｄ了，因为返券减价法的打折大小并不是一个确定的值，而是一个范围。“买４００送２００”活动，其打折的范围是六六折到不打折，因为买４００元商品的时候，花费是４００元，但是可以拿到２００元的购物券，即等于用４００元钱可以买价值６００元的商品，即这个商品打了六六折，而买399元的商品时候，花费还是399元，等于没有打折。所以题目前半部分的信息都是迷惑性的，只要理解了返券减价法的实质，就可以直接选D。
利率问题
利率问题公式：
第一年
利息=本金×利率，本息=本金×（1+利率），
第二年
利息=第一年的本息×利率
本息=本金×（1+利率）2
第n年
利息=第（n-1）年的本息×利率
本息＝本金×（1+利率）n
【例50】 （2000年国考)某储户于1999年1月1日存入银行60000元，年利率为2.00％，存款到期日即2000年1月1日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20%，则该储户实际提取本金合计为()。
A. 61200元B. 61160元C. 61000元D. 60040元
【答案】 B
【解析】 因为1999年的年利率为2.00％，而本金为60000元，所以应得利息为：
利息=本金×利率=60000×2.00%=1200（元），平均到每个月是120012=100（元），国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，则11月、12月这位储户要对当月产生的利息纳税，而这两个月产生的利息和为100×2=200（元），所以利息税为200×20%=40（元），所以2000年1月1日时
提取本金合计=本金+利息-利息税=60000+1200-40=61160（元），故应选B。
（五）方程问题
基本方程方法年龄问题不定方程问题同余问题平均问题不均分配问题重新分配问题基本方程方法
方程法就是找到题目中等量关系并建立方程来解决问题的方法。
方程法的难点在于找到等量关系，一般找到了等量关系，问题就迎刃而解了。
使用方程法解决行程问题
【例51】 有一队伍以1米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以3米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了1分钟。问：队伍有多长？()
A. 84米B. 80米C. 72米D. 64米
【答案】 B
【相等关系】 通信员从末尾到排头和从排头到末尾相对于队伍都是行进了相同的路程。
【解析】 设从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（60-x）秒，
因此，（3-1）x=(3+1)(60-x),解得x=40，队伍长度为40×2=80（米）。
使用方程法解决平均分配问题
【例52】 父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，依此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子? ()
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】 C
【相等关系】 平均分配的特点就是每个人都获得相等的数量。
【解析】 设共有n个儿子。
我们观察最后两个儿子，
则最后一个儿子拿到n份, 因为第（n-1）个儿子获得的财物为（n-1）份和剩下的十分之一，即（n-1）+n9。
因为后两个儿子获得的财物相同，n=（n-1）+n9,解得n=9。
所以父亲一共有9个儿子,故应选C。
使用方程法解决计数问题
【例53】 （2008年广东)某年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共有多少人?()
A. 177B. 176C. 266D. 265
【答案】 A
【解析】 不妨设甲、乙、丙、丁四个班个人数分别为w,x,y,z。
不算甲班其余三个班的总人数是131人,即x+y+z=131……①，
不算丁班其余三个班的总人数是134人,即w+x+y=134……②，
乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,即x+y+1=w+z……③。
①+②,得w+z+2(x+y)=265……④。
因此我们可以根据③，④计算出w+z=89，x+y=88，因此四个班共有w+x+y+z=88+89=177（人）。
年龄问题
年龄问题有以下三条规律：
1.不论哪一年，两个人的年龄差总是确定的。
2.随着时间向前或向后推移，两个人或两个人以上的年龄一定增加或减少相等数量。
3.随着年龄的增加，两个的年龄之比一定会变化，年龄大的与年龄小的比值会越来越小。
【例54】 （2005年国考)甲对乙说：当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁。甲、乙现在各有()。
A. 45岁，26岁B. 46岁，25岁
C. 47岁，24岁D. 48岁，23岁
【答案】 B
【解一】 设今年甲、乙年龄各为x岁、y岁,则两人年龄差为x-y。
甲的岁数是乙现在的岁数时，乙4岁，即y-(x-y)=4；
乙的岁数是甲现在的岁数时，甲67岁,即x+(x-y)=67。
解得x=46,y=25。
故应选B。
【解二】
现在时刻Ⅰ时刻Ⅱ甲的年龄xy67乙的年龄y4x甲的岁数是乙现在的岁数时，乙4岁，乙的岁数是甲现在的岁数时，甲67岁,则4,y,x,67是一个等差数列即y-4=x-y，x-y=67-x,解得x=46,y=25。故应选B。
【例55】 （2009年广东)甲、乙、丙、丁四人，其中每三个人的岁数之和分别是55、58、62、65。这四个人中年龄最小的是()。
A. 7岁B. 10岁C. 15岁D. 18岁
【答案】 C
【解析】 不妨设他们的岁数按从小到大排列依次是：a,b,c,d。
那么按照大小计算：
a+b+c=55……①，
a+b+d=58……②，
a+c+d=62……③，
b+c+d=65……④。
那么我们将上面的4个式子作④-①+②+③3的计算，即可得到最小的年龄a,解得a=15。
不定方程问题
解决不定方程的基本步骤：
1.根据题意写出等式。
2.将四个选项代入等式进行判断或者利用整除法来找到正确答案。
3.如果上面两种方法都不行，我们就需要自行判断。
【例56】 （2007年国考)共有20个玩具交给小王手工制作完成，根据规定，制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。最后小王共收到56元，那么他制作的玩具中，不合格的共有()个。
A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】 A
【解析】 两个未知数的不定方程。表面看起来是合格产品，不合格产品及未完成产品三种，但是因为未完成的产品既得不到工钱，又不需要赔偿，所以不用设关于未完成产品的未知数。
解法如下：设小王制作的合格产品为ｘ，不合格产品为y，所以他的收入为：
5x-2y＝56，我们将答案中的2，3，5，7分别代入ｙ，发现只有ｙ＝２时候，ｘ＝１２符合题意，因此答案为Ａ。
核心提示
得到等量关系之后，直接代入四个选项，这样更快捷，但是注意选项Ｄ是干扰选项。
同余问题
相同的数字，被不同的数字除，得到的余数相同，这就是同余问题。同余问题分为3种情况：
1.余数相同。
2.余数与被除数相减后相同。
3.余数与除数的和相同。
一个数分别除以a、b、c、…，得数相应的余数分别是A、B、C、…，并且这些余数跟相应的除数和同样多（设为k），即
a+A=b+B=c+C=…=k。这个数是 a×b×c×n+k，最小是a×b×c+k。
【例57】 （2006年国考)一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有()。
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
【答案】 A
【解析】 余数与除数的和相同类型，5+2=7，4+3=7。
这个三位数除以5余2，除以4余3，此时5+2＝4+3＝7，5和4的最小公倍数是20，故此数可表示为20n+7，所以这个数除以20余7。由于这个数除以9余7，除以20余7，为余数相同类型，20与9的最小公倍数为180n+7。三位数的范围是100到999，故100≤180n+7≤999，可得n可取1，2，3，4，5，共5个数，故选A。
【例58】 （2005年广州)篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出，篮子里都剩下一个苹果，而如果每次取出七个，那么没有苹果剩下，篮子里共有多少个苹果？()
A. 298B. 299C. 300D. 301
【答案】 D
【解析】 每次取出七个，那么没有苹果剩下，知道苹果总数能被7整除，因此纵观298，299，300，301这4个数字，唯一能被7整除的就是301，故应选D。
核心提示
表面上看起来是同余问题，其实是整除问题。
平均分配问题
平均分配：每个人获得的数量都是相同的。
平均分配公式：
总量=平均数×个数
平均数=总量÷个数
个数=总量÷平均数
【例59】 （2005年广东)甲、乙、丙、丁四人做纸花，已知甲、乙、丙三人平均每人做了37朵，乙、丙、丁三人平均每人做了39朵，已知丁做了41朵，问甲做了多少朵？()
A. 35B. 36C. 37D. 38
【答案】 A
【解析】 甲、乙、丙三人平均每人做了 37 朵，则他们一共做了37×3＝111（朵），乙、丙、丁三 人平均每人做了 39 朵，则他们一共做了３9×３＝117（朵），所以甲做了４１－（117-111）＝35（朵），故应选A。
【例60】 （2005年广东)三筐苹果共重120斤，如果从第一筐中取出15斤放入第二筐，从第二筐中取出8斤放入第三筐，从第三筐中取出2斤放入第一筐，这时三筐苹果的重量相等，问原来第二筐有多少斤苹果？()
A. 33B. 34C. 40D. 53
【答案】 A
【解析】 这道题目关键在于剔除无用信息。我们求第二筐有多少苹果，由经过操作后三筐苹果的重量相等知道第二筐最后有40斤苹果，而第二筐前面被放入了15斤，又被拿出了8斤，利用这些信息我们就可以得出答案了，而从第三筐中取出 2斤放入第一筐对我们来说是无用信息。
解法如下：
第二筐放入15斤又拿出8斤等于纯增加了7斤，而120斤平均分为3份，每份有40斤，故原来有40－（15－8）＝33（斤）。故应选Ａ。
核心提示
这道题目关键在于剔除无用信息，抓住最后“三筐苹果的重量相等”这个条件即可。 首先求第二筐有多少苹果，由经过操作后三筐苹果的重量相等，知道第二筐最后有40斤苹果，而第二筐前面被放入了15斤，又被拿出了8斤，利用这些信息我们就可以得出答案了。 而“从第三筐中取出 2 斤放入第一筐”对我们来说是无用信息。
重新分配问题
核心提示
一方减少的数量等于其他方增加的部分，然后根据题意建立方程解决问题。
【例61】 （2005年广州)两个运输队，第一队有320人，第二队有280人，现因任务变动，要求第二队的人数是第一队的2倍，需要从第一队调多少人到第二队？()
A. 80 人B. 100 人C. 120 人D. 140 人
【答案】 C
【解析】 设需要从第一队调x人到第二队,则第一队人数变为320-x,第二队人数变为280+x, 第二队的人数是第一队的2倍，因此280+x=2（320-x），解得x=120,故应选C。
（六）计数问题
排列组合问题枚举法栽树问题比赛问题集合问题
排列组合问题
排列组合问题的基本公式为：
排列与顺序有关时
排列公式：Amn=Pmn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= n!(n-m)!
n!= n(n-1)(n-2)…1，规定0!=1
组合与顺序无关时
Cmn=n!(n-m)!×m!
组合恒等式：Cmn=Cn-mn
排列组合中还有两种原理：
加法原理和乘法原理，在分类的时候用加法，在分步的时候用乘法。
分类法
【例62】 （2005年国考)从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意取出三个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法？()
A. 40B. 41C. 44D. 46
【答案】 C
【解析】 首先我们分析一下，如果三个数字的和是偶数，那么这三个数字的组成是什么。
我们知道两个数字相加时：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数。
那么三个数字相加时：奇数+奇数+偶数=偶数，偶数+偶数+偶数=偶数。
所以我们应该从其中挑选2个奇数和1个偶数，或者是3个偶数。
而1，2，3，4，5，6，7，8，9中奇数有1，3，5，7，9共5个，偶数有2，4，6，8共4个。
因此我们从5个奇数中挑选2个奇数就是C25=5×42×1=10，从4个偶数中挑选一个偶数就是C14=4，因此，奇数+奇数+偶数这种组合的选法有10×4=40种；
我们从4个偶数中选择3个偶数，即C34=C14=4，因此，偶数+偶数+偶数这种组合的选法有4种。
故三个数字的和是偶数的挑选方法有40+4=44种，故应选C。
【例63】 （2009年广东)一道多项选择题有A、B、C、D、E五个备选项，要求从中选出2个或2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是()。
A. 1/15B. 1/21C. 1/26D. 1/31
【答案】 C
【解析】 若题目正确答案为2项，那么可能的正确答案共有C25=10种。
若题目正确答案为3项，那么可能的正确答案共有C35=10种。
若题目正确答案为4项，那么可能的正确答案共有C45=5种。
若题目正确答案为5项，那么可能的正确答案共有C55=1种。
因此全凭猜测，猜对这道题的概率是1÷（10+10+5+1）=126。
【例64】 （2004年国考)林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同选择方法?()
A. 4B. 24C. 72D. 144
【答案】 C
【解析】 因为不计挑选次序，所以我们就先从三种肉类中挑选一种肉类，有3种选择，然后在四种蔬菜中挑选两种不同蔬菜，即C24=4×32×1=6种，最后从四种点心中选一种点心，有4种选择。因此总共有3×6×4=72种，故应选C。
枚举法
定义：将可能出现的情况列举出来进行统计或者进行分析的方法。
【例65】 （2008年广东)有3个企业共订阅300份《经济周刊》杂志，每个企业最少订99份，最多订101份，问一共有多少种不同的订法?()
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】 B
【解析】 当一家企业订99份的时候，其他两家企业的订量分别是100和101，不可能是其他情况。
因为如果还一家企业也订99份，那么还剩下102份，超过了最大订量。
综上当有一家企业订99份时，订杂志的情况就是关于99，100，101三个数的全排列，共有6种情况。
但是不要忘记还有每家企业都订100份的情况，因此共有6+1=7种订法。
即：
①99 100 101②99 101 100③100 99 101
④100 101 99⑤101 100 99⑥101 99 100
⑦100 100 100
【例66】（2002年国考)有关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要()。
A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天
【答案】 A
【解析】 每天安排审核的课题个数互不相等且不为零。
因为1+2+3+4+5+6+7=28＜30且1+2+3+4+5+6+7+8=36＞30，所以天数最多的一种情况是：
第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天共计审批数目123456930因此最多需要7天。
核心提示
利用数列1，2，3，4，5，6…基本数列来建立分配数列。根据题意，选择合适的区域，从而解决问题。
【例67】 有9张纸牌，分别为1至9。甲、乙、丙、丁四人取牌，每人取2张。已知甲取得两张牌之和为10，乙取得两张牌之差为1，丙取得两张牌之积为24，丁取得两张牌之商为3，问剩下一张纸牌是多少？()
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】 C
【解析】 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中，甲取得两张牌之和为10，则甲抽到的数字组合可能是（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）。
乙取得两张牌之差为1，则乙抽到的数字组合可能是：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），（6，7），（7，8），（8，9）。
丙取得两张牌之积为24，则丙抽到的数字组合可能是：
（3，8），（4，6）。
丁取得两张牌之商为3，则丁抽到的数字组合可能是：
（1，3），（2，6），（3，9）。
因为丙所取得的牌的组合最少，所以我们从丙开始分析：
如果丙取得了（3，8），因为四个人的牌不能重复，那么丁就只能取（2，6）
所以甲只能取（1，9），还剩下数字4，5，7
则乙只能取得（4，5），所以剩下数字7。同理可分析，如果丙取得了（4，6），则会发生矛盾，所以这种情况不可能。故应选C。
植树问题
植树问题公式：
线形植树：数目=线路总长/间隔距离+1
楼间植树：数目=线路总长/间隔距离-1
环形植树：数目=线路总长/间隔距离
设最外层边长为N，则
实心方阵栽树：数目=N×N
中间有边长为c的空缺：数目= N×N-c×c
【例68】 （2006年广东)园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离栽树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一棵树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？()
A. 43个B. 53个C. 54个D. 60 个
【答案】 C
【解析】 300 米的圆形花坛边等距离栽树，每隔 5 米栽一棵树，意味着要挖坑300/5=60个坑，而先前按照每隔 3 米挖一个坑，挖了 30 个坑，从第1个坑到第30个坑距离为87米，因此我们看一下已经挖的这些坑中哪些可以被我们所利用，若这些坑能被我们用，则它距离第一个坑的距离就能被15所整除，0—87之间能被15整除的数字有6个，包括0，15，30，45，60，75，所以还应该挖坑60-6=54（个），故应选C。
【例69】 （2005年广东)要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?()
A. 128棵B. 132棵C. 153棵D. 157棵
【答案】 C
【解析】 方阵栽树问题。
边长为 48 米的正方形，每竖列相距 6 米，意味着每行有４8／6＋1＝9棵树，每横行相距 3 米意味着总共有48／3＋1＝17行，所以共有树苗9×17＝153（棵），故应选C。
核心提示
用列举法解决植树问题：
用列举法解决植树问题的意义不在于直接用列举法求得答案，而在于用列举法找到规律。
当应试者在考场上忘记植树的公式时，可以使用列举法来回忆公式。
我们可以直接在长度为1米的线上间隔一米栽一棵树，则共需栽树2棵，这样我们就得到了线形植树的公式：数目=线路总长/间隔距离+1，如果是路两边都栽树，那我们直接将这个数目乘以2即可。
我们假设两栋楼相隔3米，要在它们之间间隔一米植树，那么我们就可算出需要栽树2棵，就得到了楼间植树的公式：数目=线路总长/间隔距离-1。
按照这样的思路，在你记不起公式的时候都可以使用列举法来回忆公式。
比赛问题
比赛问题公式：
单循环赛：单循环赛的赛制是每个人要同其他每个人进行比赛，因此若有n个人参加比赛，则每个人比赛n-1次，而总比赛场次为n×(n-1)2次。
淘汰赛：淘汰赛的赛制就是参加比赛的选手输了就被淘汰，赢了就晋级。
核心提示
如果n个人参加淘汰赛，则总比赛场次为n-1次，因为最后只有一个人胜利，每次比赛只淘汰1个人，所以要淘汰n-1个人，需要比赛n-1场。
【例70】 （2004年广东)某羽毛球协会举办羽毛球单打公开赛,共有1044人报名参加。比赛采取淘汰制。首先用抽签方式抽出522对进行522场比赛，获胜的522人，进行第二轮比赛，第二轮比赛也用同样的方法抽签决定谁与谁比赛。这样比赛下去，假如没有人弃权，最少要打多少场比赛才可以决出冠军？()
A. 1044B. 1043C. 874D. 688
【答案】 B
【解析】 因为是淘汰赛制，所以1044人参加比赛，1人得冠军意味着1043人被淘汰，而一场比赛淘汰1个人，因此需要1043场比赛来淘汰1043个人，故应选B 。
集合问题
核心提示
集合问题是广东省每年必考题目，需要大家注意。
【例71】 （2005年广东)某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21人得满分。如果两次测验中都没有得满分的学生有17人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少?()
A. 13人B. 14人C. 17人D. 20人
【答案】 B
【解析】
由上图，可以知道两次测验都得满分的人数为：26＋21＋17－50＝14，故应选Ｂ。
【例72】 （2009年广东)旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5;两种活动都喜欢的有43人。对这两种活动都不喜欢的人数是()。
A. 18B. 27C. 28D. 32
【答案】 A
【解析】 喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3，则喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数分别为75人和45人。
喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5，则喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数分别为70人和50人。
因此对这两种活动都不喜欢的人数是120-（75+70-43）=18（人）。
核心提示
上面是较为简单的两种特性集合，使用的方法是作图法。
下面将介绍复杂特性集合，使用的方法是表格法。
【例73】 （2007年广东)学校一共275人去参加比赛，参加数学比赛的男生120人，女生80人，参加英语比赛的女生120人，男生80人，已知两科都参加的男生75人，问只参加数学比赛不参加英语比赛的女生多少人？()
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】 C
【解析】 双属性集合问题。解法如下：
数学英语都参加只参加数学比赛只参加英语比赛男生1208075455女生80120x80-x120-x
所以总人数是75+45+5+x+(80-x)+(120-x)=325-x=275，解得x=50，因此只参加数学不参加英语的女生有80-50=30（人）。
【例74】 （2008年广东)某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?()
A. 12B. 14C. 15D. 19
【答案】 C
【解析】 根据题目，我们列出以下表格：
白色上衣黑色上衣合计黑色裤子34蓝色裤子12合计2960然后我们将其填完整：
白色上衣黑色上衣合计黑色裤子19 ②15 ③34蓝色裤子12合计31 ①2960① 因为29人穿黑色上衣，所以穿白色上衣的有60-29=31（个）。
② 因为12人穿白上衣蓝裤子，所以穿白上衣黑裤子的有31-12=19（个）。
③ 因为穿黑裤子的人有34个，所以穿黑上衣黑裤子的有34-19=15（个）。
核心提示
广东省的集合问题一般只出现两特性集合，三特性集合较少出现。
但是三特性集合在国考中常常出现。
【例75】 （2006年国考)某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语，有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语，有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人？()
A. 1人B. 2 人C. 3人D. 4人
【答案】 C
【解析】 只会说一种语言的人为：
一种语言都不会说的人为：
解法如下：
会说两种语言的人为：
只会说英语和法语的人数为3-1=2。
只会说法语和西班牙语的人数为2-1=1。
只会说英语和西班牙语的人数为2-1=1。
6人会说英语，有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说西班牙语又会说英语，有1人这三种语言都会说。
所以只会说英语的人数为：
6-1-2-1=2。
5人会说法语，有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有1人这三种语言都会说。
所以只会说法语的人数为：
5-1-2-1=1。
5人会说西班牙语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语，有1人这三种语言都会说。
所以只会说西班牙语的人数为：
5-1-1-1=2。
因此，只会说一种语言的人数为：2+1+2=5。
一种语言都不会说的人为：
12-2-1-1-2-1-1-2=2。
所以5-2=3，即只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多3人，故应选C。
（七）小问题集锦
1.画图法
【例76】 有一只青蛙掉进一口深10米的井中，每次跳上4米却又滑下3米，则这个青蛙跳多少次可以从井中跳出？()
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】 C
【解析】 设青蛙跳ｘ次到井口。
因此（ｘ－１）×１＋４＝１０。
解得ｘ＝７，故应选Ｃ。
核心提示
青蛙跳井问题类似于渡河问题，因为青蛙每次跳上４米，却又滑下３米，因此除了最后一次跳出井口，每次只等于向上了１米。而最后一次因为直接跳上了井口，所以就不会下滑。
【例77】 (2005年广东)有 37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5人，需要几次才能渡完？（）
A. 7次B. 8次C. 9次D. 10次
【答案】 C
【解析】 渡船问题关键就在于把人运到对岸后必须有一个人把船摇回来。因此若船每次最多能载n人，则除了最后一次能运n人过河外，其他时候每次最多只相当于有n-1人过河。37＝4×8＋5，所以需要8＋1＝9次渡完，故选C。虽然船每次能载5人，但是还必须保证船能回去接人，因此开始每次只相当于渡4人过河，而最后一次是5人一起下船。
核心提示
渡船到了对岸必须有一个人把船再开回来，若船每次可载n人，则除了最后一次，实际上每次只能运送n-1个人渡河。
【例78】 （2008年广东)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，问A、B两地相距多少米?()
A. 1350米 B. 1080米C. 900米D. 720
【答案】 C
【解析】 如图：
相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，即CB距离为3×60=180（米）。
乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，说明乙比甲多走了180×2=360（米）。
此时他们花费的时间就是360÷（90-60）=12（分钟），因此甲走完全程需要12+3=15（分钟）。
故A、B两地相距60×15=900（米）。
【例79】 某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返须1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点40分到达。问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?()
A. 5倍B. 6倍 C. 7倍 D. 8倍
【答案】 D
【解析】
如上图所示，路段ＡＢ就蕴含着等量关系。
下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返须1小时，说明汽车2点整发车，2点半到达劳模家，3点整到达学校。而下午2点40分到达，说明汽车在路上只行进了40分钟，说明汽车在2点20分与劳模相遇，而该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，则劳模行走了1小时20分钟=80分钟。而劳模走的路程，汽车10分钟就可以走完，因此汽车的速度是劳模的步行速度的8倍，故应选D。
【例80】 （2005年国考)某人在公共汽车上发现一个小偷向相反方向步行，10秒钟后他下车去追小偷，如果他的速度比小偷快一倍，比汽车慢45，则此人追上小偷需要（）。
A. 20秒B. 50秒C. 95秒D. 110秒
【答案】 D
【解析】 这道题目的相等关系也比较隐蔽，需要画图寻找。
设小偷速度为x，则此人速度为2x，汽车速度为10x。设此人下车后追上小偷需要ｔ秒，则通过画图知道此人下车后追上小偷的时候跑了2xｔ，小偷步行了xｔ。而两者相差的距离为汽车行进的距离和此人下车前小偷走的距离，所以2xt－xt＝10×10x＋10x，解得ｔ＝110。故应选D。
【例81】 （2003年广东)两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？()
A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米
【答案】 D
【解析】
模块一 数量关系
第一章 数字推理
第一节 基础知识
模块二 言语理解与表达
第一章 选词填空
第二章 阅读理解
模块三 判断推理
第一章 类比推理
第二章 常识判断
第三章 图形推理
第四章 演绎推理
模块四 资料分析
第一章 资料分析概述
第二章 文字资料
第三章 图形资料