第二节 重点题型
一、数学计算
计算问题的常用方法：
1.凑整法：通过凑成1、10、100这样比较“整”的数来计算的方法。
2.乘法分配律
正向乘法分配律: (a+b)c=ac+bc
逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c
3.公式法
平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)；
完全平方和公式：（a+b）2=a2+2ab+b2;
完全平方差公式：（a-b）2=a2-2ab+b2;
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。
4.整体消去法：在比较复杂的计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消的方法。
5.尾数判定法：利用目标答案的尾数计算的方法，包括传统意义上的尾数法、多位尾数法、除法尾数法等。其基本依据是： 和、差、积的尾数就是尾数的和、差、积的尾数，例如：
9876+5432=15308的个位数字是8；
9876的个位数6加上5432的个位数2的“和”的个位数也是“8”。
9876-5432=4444的个位数是4；
9876的个位数6减去 5432的个位数2的“和”的个位数也是“4”。
9876×5432=53646432的个位数字是2；
9876的个位数6乘以 5432的个位数2的“积”的个位数也是“8”。
6.估算法： 通过估算答案的大概范围来解题。
【例1】 2009×20082008-2008×20092009的值是()。
A. -10B. 0C. 100D. 1000
【答案】 B
【解析】 20082008=2008×10001，20092009=2009×10001。
2009×20082008-2008×20092009=2009×2008×10001-2008×2009×10001=0。
【例2】 892+112+22×89的值是()。
A. 10000B. 12000C. 13000D. 14000
【答案】 A
【解析】 892+112+22×89
=892+112+2×11×89
=(89+11)2
=1002
=10000
【例3】 （2007年北京)（873×477-198）/（476×874+199）的值是()。
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】 A
【解析】 （873×477-198）/（476×874+199）
=［873×(476+1)-198］/［476×(873+1)+199］
=(873×476+873-198）/（476×873+476+199）
=(873×476+675）/（476×873+675）
=1
【例4】 （2009年河北)13×99+135×999+1357×9999的值是()。
A. 13507495B. 13574795C. 13704675D. 13704795
【答案】 D
【解析】 原式＝13×（100-1）+135×（1000-1）+1357×（10000-1）
＝1300+135000+13570000-（13+135+1357）
＝13704795
【例5】 8612×756×606的值是()。
A. 985032092B. 3510326292
C. 3945467232D. 3610494042
【答案】 C
【解析】 原式≈8600×（750×600）＝8600×450000＝3870000000。原式应比所算得的数值大，故本题选C。
二、应用题
应用题定义：从一段文字中寻找信息并通过计算得到答案的题目。
应用题常见类型:
应用题类型题型分类行程问题基本行程问题追及问题相遇问题不定方向问题环状运动问题流水行船(电梯)问题队列过桥问题沿途数车问题工程问题普通工程问题排水进水问题制作问题牛吃草问题比例问题基本比例问题浓度问题分段计费问题混合比例问题经济问题利润问题利率问题方程问题基本方程问题年龄问题不定方程问题同余问题平均分配问题重新分配问题计数问题栽树问题枚举问题集合问题排列组合问题比赛问题小问题青蛙跳井问题渡河问题时期问题抽屉原理问题几何问题应用题常用方法：
（1）公式法；（2）十字交叉法；（3）列举法；（4）画图法；（5）方程法；（6）代数法。
应用方法定义解决题型公式法使用基本公式解决题目的方法是解决问题的基础，几乎可以解决所有问题，但是要注意灵活运用十字交叉法使用十字交叉图示计算两总量、两关系的混合物的组成成分的比值的方法浓度问题分段计费问题人口比例问题…列举法将可能出现的情况列举出来进行统计或者进行分析的方法计数问题分配问题栽树问题…画图法使用画图的办法来分析并解决问题的方法相遇问题追及问题往返问题计数问题集合问题青蛙跳井问题渡河问题方程法找到题目中等量关系并建立方程来解决问题的方法年龄问题分配问题行程问题牛吃草问题计数问题浓度问题钟表问题代数法直接将题目中的变量赋予数值，从而简化计算过程的方法利润问题行程问题浓度问题（一）行程问题
基本行程问题追及问题相遇问题不定方向问题环状运动问题流水行船(电梯)问题队列过桥问题沿途数车问题基本行程问题
行程问题的基本公式：
路程=速度×时间
时间=路程÷速度
速度=路程÷时间
平均速度=总路程÷总时间
【例6】（2010年国考)某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时。假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y公里，旅游船在静水中匀速行驶y公里需要x小时，则x满足的方程为（）。
A. 13-1x=1x-14 B. 13-1x=14+1x
C. 1x+3=14-1xD. 14-x=1x+13
【答案】 A
【解析】 根据题意，静水时船速为yx，而船速+水速=y3，船速－水速=y4，可得：水速=y3－船速=船速－y4，即y3-yx=yx-y413-1x=1x-14。
【例7】 （2004年广东)一辆汽车驶过一座拱桥，拱桥的上下坡路程是一样的。汽车行驶拱桥上坡时的时速为6公里；下坡时的时速为12公里。则它经过该桥的平均速度是多少？()
A. 7 公里/小时B. 8 公里/小时
C. 9 公里/小时D. 10 公里/小时
【答案】 B
【解析】 设上坡路程为s,则下坡路程也为s,所以总路程为2s,上坡时间为s6,下坡时间为s12，所以总时间为s6+s12，所以经过该桥的平均速度是2ss6+s12=2212+112=2312=8（公里/小时）,故应选B。
核心提示
平均速度是总路程对于总时间的平均，而不是单纯速度的平均。
【例8】 （2005年广东)龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑 3 千米。乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑一分钟，然后玩十五分钟，又跑两分钟，然后玩十五分钟， 又跑三分钟，然后玩十五分钟，…那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？()
A. 104 分钟B. 90.6 分钟
C. 15.6 分钟D. 13.4 分钟
【答案】 D
【解析】 兔子跑5.2千米，纯跑步的时间为5.220×60=15.6（分钟）。
1+2+3+4+5=15（分钟），也就是说兔子在玩了5次之后再跑步才能到终点，则他玩耍时间为5×15=75分钟，故兔子到达终点用了75+15.6=90.6（分钟）。
乌龟每小时跑3千米，跑5.2千米的时间为5.23×60=104（分钟）。因此先到达终点的比后到达终点的快104-90.6=13.4（分钟），故应选D。
核心提示
这道题目的难点在于计算兔子到达终点所用的时间。我们先计算兔子花在跑步上的时间，然后利用这个时间来确定兔子休息的时间。因为不管兔子如何在路途上玩耍，它花在跑步上的时间都是确定的，为5.220×60分钟。
相遇问题
相遇问题的公式为：
相遇时间=路径长度/（两个物体的速度之和）
路径长度=两个物体的速度之和×相遇时间
例如，小铭和小李相距100米，他们同时相向而行，速度分别为1.5米/秒和2.5米/秒，则他们相遇时间为100（1.5+2.5）=25（秒）。
【例9】（2009年河北)铁路沿线的电线杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟。这列火车每小时运行多少千米？()
A. 50B. 60C. 70D. 80
【答案】 B
【解析】 该列火车2分钟运行的距离为：40×（51-1）＝2000（米）＝2（千米），所以火车每小时运行距离为2÷2×60＝60（千米），故选B。
【例10】 （2006年广东)甲、乙、丙三人，甲每分钟走50米，乙每分钟走40米，丙每分钟走35米，甲、乙从A地，丙从B地同时出发，相向而行，丙遇到甲2分钟后遇到乙，那么，A、B两地相距多少米？()
A. 250 米B. 500 米C. 750 米D. 1275 米
【答案】 D
【解一】 甲相对于丙的速度为50+35＝85（米/分钟），乙相对于丙的速度为40+35＝75（米/分钟）。
设A、B 两地相距s米,因为甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行，所以甲、丙两人相遇时间为：s(50+35)分钟，乙、丙两人相遇时间为：s(40+35)分钟，而由题意，丙遇到甲 2 分钟后遇到乙，即s40+35-s50+35=2，解得s=1275（米）。
【解二】 整除法
因为甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行，所以甲、丙相对速度为50+35=85（米/分钟），乙、丙相对速度为40+35=75（米/分钟），所以答案必须能整除85和75，因此只能选D。
追及问题
追及问题的公式：追及时间=路径长度/（两个物体的速度之差）
【例11】 （2009年浙江)甲、乙两港相距720千米，轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花5小时；帆船在静水中每小时行驶24千米，问帆船往返两港要多少小时？()
A. 58小时B. 60小时C. 64小时D. 66小时
【答案】 C
【解析】 此题关键在于求出水流的速度：（72015-72020）÷2=6（千米/时）,那么帆船逆流的速度为18千米/时，顺流的速度为30千米/时，则往返所需时间为72030+72018=64（小时）。
方向不定问题
方向不定问题的公式：时间=路程÷速度
【例12】 （2003年国考)姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇，小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?()
A. 600米B. 800米C. 1200米D. 1600米
【答案】 A
【解析】 弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，这是一个追及问题，小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这是一个行程问题，这样我们就解决了这个问题。
弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他，则两人初始距离为80米。
姐姐每分钟走60米，则姐姐相对于弟弟的速度为（60－40）＝20，追上弟弟需要8020=4（分钟），因此小狗跑的路程=小狗的速度×时间=150×4=600（米），故应选A。
【例13】（2005年北京)红星小学组织学生排成队步行去旅游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟，求队伍长度。()
A. 630米B. 750米C. 900米D. 1500米
【答案】 A
【解析】 这是一个追及相遇问题，王老师从队尾到排头是追及问题，王老师从排头返回排尾是相遇问题。我们用相对速度来解决问题，王老师从队尾到排头相对于队伍的速度为150-60＝90（米/分钟），行进了队伍的长度；从排头返回队尾，相对于队伍速度为１５０+60＝210（米/分钟），行进了队伍的长度。
直接设队伍长度为x米,则王老师从队尾到排头的时间为x90，从排头到队尾的时间为x210，而两个时间和为10分钟，因此我们建立如下方程：x90+x210=10，解得x=630，故应选Ａ。
核心提示
例1题如果我们按照普通的方法，一次次地计算小狗从弟弟跑到姐姐和从姐姐跑到弟弟处的路程，那么我们可能就陷入计算的旋涡了。我们其实只要利用最基本的路程公式进行计算就可以了。
环状运动问题
上面讨论的问题都是直线问题，现在来看一下环状的问题。一般的体育比赛，如5000米跑步之类的，运动员都是绕着环形跑道进行比赛。公务员考试中环状问题也经常出现，环状问题的特点就在于环的循环特性：
在环状运动中，运动方向只有顺时针和逆时针之分。
如果环状周长为s，那么只要跑步者朝一个方向运动路程是s的整数倍，那么他肯定会回到起点。
如果两个人从同一点同向运动，那么两人第n次相遇时，两人的行程之差为ns。
如果两个人从同一点异向运动，那么两人第n次相遇时，两人的行程之和为ns。
一个人在环上的位置距离起点有两个距离，这两个距离和为s。
做环形运动问题的时候，一方面要考虑到方向问题，另一方面要考虑到环状的循环特点，再利用前面的相遇追及问题的一般知识，就可以解决环状问题了。
【例14】 （2004年广东)有这么一个赛马场，跑道上A马一分钟可跑2圈，B马能跑3圈，C马则跑4圈。3匹马是同时从起跑线上出发的，请问最少几分钟后3匹马又相遇在起跑线上？()
A. 1分钟B. 4分钟C. 12分钟D. 24分钟
【答案】 A
【解析】 跑道上，A马一分钟跑2圈，B马能跑3圈，C马则跑4圈，因此1分钟后A、B、C马都在起跑线上。故正确答案为A项。
【误区】 跑道上，A马一分钟可跑12圈，B马能跑13圈，C马则跑14圈。3匹马是同时从起跑线上出发的，而2、3、4的最小公倍数为12，所以它们在12分钟时相遇在起跑线上。这样会误选C项。
错误原因：弄错了马儿们的速度。它们的速度是2，3，4，而不是12,13，14。
环状比赛问题
环状比赛问题的特点：
比赛双方的路程都是相同的，但是两个人的时间不同。
一个人跑到终点的时候，另一个人还未跑到终点。
设比赛的路程为ｓ，甲、乙的速度分别为x、y。一般赛跑问题的解法是：
按时间算，乙跑到终点时，乙会落后甲的时间为sx-sy；
按距离算，甲到终点时，乙会落后甲的路程s-syx米。
【例15】 （2004年广东)甲、乙两人进行 100 米赛跑比赛，结果甲领先乙 10 米到达终点。如果乙和丙进行 100 米赛跑，则乙领先丙 10 米取胜。现在甲和丙进行同样的比赛，则甲到达终点时丙跑了多少米？()
A. 19 米B. 20 米C. 80 米D. 81 米
【答案】 D
【解析】 100米赛跑比赛，甲领先乙 10 米到达终点，所以甲跑了100米的时候，乙跑了90米，故甲和乙的速度比是10∶9；乙领先丙 10 米取胜，同理，乙和丙的速度比为10∶9，因此甲与丙的速度比为100∶81，所以当甲和丙进行同样的比赛时，甲到达终点时丙跑了81米，故应选Ｄ。
【例16】 （2006年江苏)甲、乙、丙三人进行百米赛跑比赛，甲到终点时，乙离终点２米，丙离终点３米，在各自速度不变的情况下，乙到达终点时，丙离终点还有多少米？()
A. 1149B. 1249C. 1349D. 1
【答案】 A
【解析】 百米赛跑，甲到终点时，乙离终点２米，丙离终点３米，说明甲跑了100米的时侯，乙跑了98米，丙跑了97米，即乙、丙的速度之比为98∶9７。因此当乙到达终点时，丙距离终点还有：
s-syx=100-100×9798=1149（米），故应选A。
行船问题
行船问题的基本公式：
顺水行船：运行时间=距离/（船速+水速）
逆水行船：运行时间=距离/（船速-水速）
电梯问题类似：
顺电梯而行，行走时间=台阶数/（电梯速度+人的速度）
逆电梯而行，行走时间=台阶数/（人的速度-电梯速度）
【例17】 （2005年广东)一只船沿河顺水而行的航速为30千米/小时，已知按同样的航速在该河上顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为()。
A. 1 千米B. 2 千米C. 3 千米D. 6 千米
【答案】 C
【解析】 设该船静水航速为ｘ千米/小时，河水流速为ｙ千米/小时。
由题意，沿河顺水而行的航速为30千米/小时，得ｘ＋ｙ＝30；
顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，得3×30=(x-y)×5。
计算得x＝24，y＝6，因此船在该河上顺水漂流半小时的航程为6×0.5=3（千米）。
【例18】（2005年国考)商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有()。
A. 40级B. 50级C. 60级D. 70级
【答案】 C
【解析】 我们用行船问题的解法来解决此问题。
设电梯速度为x个梯级每秒, 该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级为y。
设女孩的速度为t个梯级每秒，男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则男孩的速度为2t个梯级每秒。
女孩走了40级到达楼上，则女孩上楼所用的时间为40t，所以y=40+40t×x ；
男孩走了80级到达楼下，则男孩下楼所用的时间为802t=40t，所以y=80-40t×x。
解得y=60。
队列过桥问题
队列过桥问题的特点在于必须在总路程中加入队伍长度，因为问题一般是问队伍从头到尾都通过所需的时间。
队列过桥问题公式：队列通过桥梁的时间=（桥梁长度+队列长度）/队列速度
【例19】 木桥长度为100米，某小学组织春游，同学们排成20米长的队伍，队伍行进速度为1.5米/秒，问从队伍上桥到队伍完全离开木桥，共需多少时间？()
A. 60秒B. 80秒C. 100秒D. 120秒
【答案】 B
【解析】 队伍上桥到队伍完全离开木桥所需时间=100+201.5=80秒，故应选B。
【例20】 两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为 12.5米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米?()
A. 60米B. 75米C. 80米D. 135米
【答案】 D
【解析】 因为两列火车相向开出，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为 12.5米／秒，所以第二列车相对于第一列的速度为10＋12.5＝22.5（米／秒），又因为第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，所以说明第二列车上的乘客从遇到第一列车的车头到车尾共需要6秒，因此第一列火车的长度为22.5×6＝135（米）。
沿途数车问题
沿途数车问题公式：相邻两辆车发车时间间隔×车速=相邻两辆车的间隔
【例21】 从甲、乙两车站同时相对开出第一辆公共汽车，此后两站每隔8分钟再开出一辆，依此类推。已知每辆车的车速相同且都是匀速的，每辆车到达对方站都需45分钟。现有一乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车？()
A. 4辆B. 5辆C. 6辆D. 7辆
【答案】 C
【解析】 乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，同时从乙站开出第一辆车去甲站。因为每辆车的车速相同且都是匀速，所以乘客看到第一辆车是在22.5分钟。同一车站两辆车之间相隔8分钟，即乘客从见到一辆车到见到下一辆车的路程为8分钟车程。但因为是相向而行，所以在见到第一辆车后，只需要每过4分钟就能遇到一辆由乙站开出的车，分别是在26.5分钟、30.5分钟、34.5分钟、38.5分钟、42.5分钟。故本题正确答案为C。
【例22】 （2009广东)地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每6分钟有一列地铁从后面追上，每2分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间隔是()。
A. 2分钟B. 3分钟C. 4分钟D. 5分钟
【答案】 B
【解析】 这个问题是流水行船问题和沿途数车问题的结合。
将地铁检修车看作“流水”，
每6分钟有一列地铁从后面追上，说明地铁的“逆水速度”是16；
每2分钟有一列地铁迎面开来, 说明地铁的“顺水速度”是12。
因此地铁的速度是（顺水速度+逆水速度）2=（12+16）2=13，即地铁发车间隔是3分钟。
（二）工程问题
普通工程问题排水进水问题制作问题牛吃草问题基本工程问题工程问题基本公式：
工作时间=工作量/工作效率
我们在解决工作问题时，常常将总工作量设为“1”。
【例23】 （2005年广州)铺设一条自来水管道，甲队单独铺设需8天可以完成，而乙队每天可铺设50米。如果甲、乙两队同时铺设，4天可完成全长的2/3，问这条管道全长是多少米？()
A. 1000米B. 1100米C. 1200米D. 1300米
【答案】 C
【解析】 设自来水管道总工程量为“1”，甲队单独铺设需8天可以完成，则甲队的效率为18，甲、乙两队同时铺设，4天可完成全长的2/3，说明甲、乙合作的效率为23÷4=16，因此乙的效率为16-18=124，所以乙每天能完成总工作量的124，又因为乙队每天可铺设50米，所以自来水管道总长度为50÷124=1200（米）。
【例24】 （2005年广东)完成某项工程，甲单独工作需要 18 小时，乙需要 24 小时，丙需要 30 小时。现按甲、乙、丙的顺序轮班工作，每人工作一小时换班。当工程完工时，乙总共干了多少小时？()
A. 8小时B. 7小时 44 分C. 7小时D. 6小时 48 分
【答案】 B
【解析】 甲、乙、丙三人轮一次班干118+124+130=47360，因此轮七次班干47360×7=329360，还剩下31360，甲、乙各干一小时能完成35360，因此我们知道工程将在乙处结束，而且因为乙干活时间超过7小时又不到8小时，观察答案选项中只有7小时44分符合要求，故应选Ｂ。
排水进水问题
排水进水问题与基本工程类似，只不过表述方法有些区别。
【例25】 （2004年广东)某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两根进水管和一根排水管。甲、乙两管单独注满水池分别需要10小时和15小时。水池中原来有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管排水需要6小时将水池中的水放完。如果只开甲管进水而排水管放水，需要2个小时将水池中的水放完。问：水池中原来有水多少立方米？()
A. 0.2B. 0.5C. 5D. 20
【答案】 D
【解析】 设水池中原来有水x立方米，占水池的比例为x100。
甲、乙两管单独注满水池分别需要10小时和15小时,说明甲、乙的效率分别为110，115。
设排水管效率为1y,即单独排水时，y小时可以把满池的水放完。
甲、乙两管同时进水而排水管排水需要6小时将水池中的水放完，说明
6×（110+115-1y）=-x100 。
只开甲管进水而排水管放水，需要2个小时将水池中的水放完，说明
2×（110-1y）=-x100。
解得x=20。
【例26】 （2007年广东) 水池里有进水口和出水口，如果开12个进水口，9小时满，如果开9个进水口，24小时满，如果开8个进水口，多少小时满？()
A. 24B. 36C. 48D. 54
【答案】 D
【解析】 设单开一个进水口需要x小时灌满，单开出水口，需要y小时将满池水放光。
开12个进水口，9小时满，12×1x-1y=19，
如果开9个进水口，24小时满，9×1x-1y=124，
解得1x=5216,1y=16。
如果开8个进水口，则8×1x-1y=527-16=154,所以需要54小时。
核心提示
排水进水问题与基本工程不一致的地方在于排水管使总量减少，而进水管使总量增加。 基本工程问题中所有人对于总量的贡献都是正的。
制作问题
制作问题也可以看作是工程问题，只需要设总材料为单位“1”即可。
【例27】 （2005年广东)一批木材全部用来加工桌子可以做 30张，全部用来加工床可以做 15张。现在加工桌子、椅子和床各 2张，恰好用去全部木材的14。剩下的木材全部用来做椅子，还可以做多少张?()
A. 40张B. 30张C. 25张D. 5张
【答案】 B
【解一】 整除法。因为还剩下34的木料，因此做出来的椅子可以整除3，故应选B。
【解二】 设木材全部用来加工椅子可以做 x张，木材全部用来加工桌子可以做30张，全部用来加工床可以做15张，意味着每张桌子需要全部木料的130，每张床需要全部木料的115，加工桌子和床各2张，则消耗木料230+215＝15，15+2x＝14，解得x=40，而140×30＝34，所以还能做30张椅子，故应选B。
核心提示
制作问题的特点在于用数量为“1”的材料进行制作，是由整体到部分。 基本工程问题的特点是完成总量为“1”的工程，是由部分到整体。
牛吃草问题
牛吃草问题的经典表述：
“草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?”
这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”。
核心提示
牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度。
牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率。
分析：之所以会出现这种情况，原因在于牛吃草的速度和草地生长的速度。27头牛吃6周，但是23头牛却能吃9周，就是这个原因。
用工程的思想来解决这个问题，设草地总草量为单位“1”，草地生长速度为1x，每头牛吃草速度为1y，这样就可以把问题化归为一般工程问题了。
解法如下：
设草地原来的总草量为单位“1”，草地生长速度为1x，每头牛吃草速度为1y，
27头牛吃6周，则1y×27×6-1x×6＝1，
23头牛吃9周，则1y×23×9-1x×9＝1，
解这个方程组得1x＝15y,1y=172。
因此，当21头牛来吃的时候，牛吃草的速度和草生长速度之差为1y×21-1x＝21y-15y＝6y＝112，可以吃12周。
【例28】 （2003年广东)有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？()
A. 20B. 25C. 30D. 35
【答案】 C
【解析】 设草地总草量为单位“1”，草地生长速度为1x，每头牛吃草速度为1y。
10头牛吃20天，则1y×10×20-1x×20＝1，15头牛吃10天，则1y×15×10-1x×10＝1，解得1y=1100,1x =120。
若草地只能提供4天草量，则所有的牛吃草的速度和草生长速度之差为14，所以所有的牛吃草的速度为14＋120＝620，因此共有牛620÷1100＝30（头）。
【例29】 （2006年广东)有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用 2 台抽水机排水， 则用 40 分钟能排完；如果用 4 台同样的抽水机排水，则用 16 分钟排完。问如果计划用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？()
A. 5 台B. 6台C. 7台D. 8台
【答案】 B
【解析】 设一台抽水机x分钟能抽干满水的水池，进水管y分钟能充满水池，则抽水机每分钟抽出蓄水池1x的水，进水管每分钟输入1y的水。设水池中积水为z ,注意：抽水管、排水管同时开着。
由 2 台抽水机排水， 40 分钟能排完，得(2x-1y)×40=z……①
由 4台抽水机排水， 16 分钟能排完，得(4x-1y)×16=z……②
②式-①式，得(4x-1y)×16-(2x-1y)×40=0，得3y=2x,代入①式中，
得z=80y。用10分钟将水排完意味着（？x-1y）×10=80y,即（3×？2y-1y）×10=80y,得？=6。
核心提示
将中转水池中原有水量看作“草地初始草量”，把抽水机看作“牛”，把“进水管”看作草地的生长量，这个排水问题也是个牛吃草问题。
（三）比例问题
基本比例问题浓度问题混合比例问题分段计费问题基本比例问题
比例的规则和性质
规则1：xy∶ab=xy×ba=xbya
规则2：xy=k，则xy+x=kk+1，yy+x=1k+1
性质1：
若a∶b=c∶d，则
(a+c)∶(b+d)=a∶b=c∶d；
(a-c)∶(b-d)=a∶b=c∶d；
(a+xc)∶(b+xd)=a∶b=c∶d；(x为常数)
a×d = b×c。(即外项积等于内项积)
性质2：
若a>b>0,则1a＜1b；
若a<b<0,则1a＞1b；
性质3：
若a∶b<c∶d，则ab ＜a+cb+d＜cd；
正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；
反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比。
【例30】 (2007年广东)地球表面的陆地面积和海洋面积之比是29∶71，其中陆地的四分之三在北半球，那么南、北半球海洋面积之比是多少？()
A. 284∶29B. 113∶55C. 371∶313D. 171∶113
【答案】 D
【解析】 （50-29×0.25）∶（50-29×0.75）＝42.75∶28.25＝171∶113。
【例31】 （2005年广东)甲、乙两个厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍，已知一月份甲、乙两个厂生产的玩具总数是98件，二月份甲、乙两个厂生产的玩具总数是106件。那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量是在几月份?()
A. 3月B. 4月C. 5月D. 7月
【答案】 C
【解析】 因为甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍，乙一月份产量为106-98=8（件），甲每月产量为98-8=90（件），而8×23=64＜90，8×24=128＞90。所以乙厂在5月份生产玩具数量第一次超过甲厂，故应选C。
核心提示
此题目的陷阱在于乙厂数量每个月增加一倍，这个并不是说第一个月产量如果是1的话，接下来几个月产量就是2，3，4。其实是按1，21，22，23，24的规律增长的。识破了这一点，这道题就是一个简单问题了。
【例32】 （2005年广东)两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是 3∶1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是 4∶1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？()
A. 31∶9B. 7∶2C. 31∶40D. 20∶11
【答案】 A
【解析】 因为瓶子的容积既可以按3∶1分，又可以按4∶1 分，即瓶子的容积可以分成4份，也可以分成5份，因此设瓶子容积为20，则第一瓶中酒精与水各为15，5；第二瓶中酒精与水各为16，4，所以混合之后酒精与水的比例为（15+16）∶（5+4）=31∶9，故应选A。
【例33】 （2004年广东)某中学在高考前夕进行了4次数学摸底考试，成绩一次比一次好：第一次得80分以上的比例是70%；第二次是75%；第三次是85%；第四次是90%。请问在四次考试中都得80分以上的学生的百分比至少是多少？()
A. 20%B. 40%C. 50%D. 80%
【答案】 A
【解析】 第一步考虑，如何使前两次考试中都得80分以上的学生的百分比最少，方法就是要让第一次考试得80分以上的同学在接下来的考试中尽可能得不到80分以上，假设总共有100人，则第一次得80分以上的人数为70人，第二次考试中有25人不到80分，因此这些人第二次考试中有25人在80分以下，这样就只有70-25=45人两次考试在80分以上了。
第二步考虑，如何使前三次考试中都得80分以上的学生的百分比最少，方法就是让前两次在考试中得80分以上的45人在第三次考试中尽可能得分在80分以下，第三次考试有15人不到80分，这样在三次考试中都得到80分以上的人最少有45-15=30个。
第三步考虑，如何使四次考试中都得80分以上的学生的百分比最少，根据我们的经验，应该让前面三次考试中都在80分以上的人在第四次考试低于80分，而第四次有10人在80分以下，因此在四次考试中都得80分以上的学生至少有70-25-15-10=20（人）。
方法如下：
70%-（100%-75%）-（100%-85%）-（100%-90%）=20%，故应选A。
核心提示
此题目的分析较为麻烦，大家可以直接记住方程算法。
【例34】 （2005年广东)有一个人对他的妻子说，如果将来他们有一个儿子，他的儿子就将分得他的遗产的23，妻子得13，如果将来生一个女儿，则他的女儿得13，妻子得23。现在他的妻子生下一个儿子一个女儿，遗产该怎么分配？()
A. 女儿得14B. 儿子得47C. 妻子得38D. 女儿得13
【答案】 B
【解析】 因为如果将来他们有一个儿子，他的儿子就将分得他的遗产的23，妻子得遗产13，说明儿子和妻子的遗产比例为2∶1；
如果将来生一个女儿，则他的女儿得13，妻子得23,则女儿和妻子的遗产比为1∶2；现在他的妻子生下一个儿子一个女儿，妻子、儿子、女儿三人的遗产比应该为2∶4∶1，因此女儿得17，儿子得47，妻子得27，故应选B。
【例35】 (2007年广东) 给30只鸟做上标记，放飞，然后再捉50只，发现有10只有标记，问共有多少只鸟？()
A. 150B. 160C. 80D. 100
【答案】 A
【解析】 设共有鸟x只。因此,1050=30x，解得x=150。
【例36】 （2004年国考)养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?()
A. 2000B. 4000C. 5000D. 6000
【答案】 B
【解析】 数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，说明捕上带标记鱼的概率为5100=5%， 因此，池塘中鱼的总数为200÷5%=4000（尾），故应选B。
核心提示
上面两道题目的原理是：
事件A的概率=事件A发生的总次数所有事情发生总次数
【例37】 （2000年国考)某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10％和2％后的价格，则电脑原来定价是()。
A. 4950元B. 4990元C. 5000元D. 5010元
【答案】 C
【解析】 设原先定价为x元，折扣了10％后，价格为x(1-10%)，在此基础上再降价2％即为现在的价格：
x(1-10%)(1-2%)=4410，解得x=5000，故应选C。
核心提示
错误做法：现在价格为x(1-10%-2%)=4410
错误原因在于混淆了比例关系。第一次降价后，商品价格改变，所以再次降价是以第一次降价后得到的价格为基础的。
浓度问题
浓度问题的基本公式：浓度=溶质/溶液，溶液=溶质+溶剂。
例如，用浓度为x%的盐水m克和用浓度为y%的盐水n克混合出某一浓度的盐水，这就是配比问题。
混合浓度=盐的总质量盐水总质量×100%=mx%+ny%m+n×100%
【例38】 （2006年广东)一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为 3%，再加入同样多的水，溶液的浓度为 2%，问第三次再加入同样多的水后，溶液的浓度是多少?()
A. 1.8%B. 1.5%C. 1%D. 0.5%
【答案】 B
【解析】 设浓度为 3%的溶液为100克，则含有盐的质量为100×3%＝3（克），再加入质量为x克的水，则溶液质量为(100+x)克，而因为盐的质量并没有改变，所以溶液的浓度为3100+x=2%，得x=50（克）,所以当第三次加入同样多的水的时候，溶液的质量为100+50+50=200（克），而盐的质量仍然没有改变，所以浓度为3200×100%= 1.5%,故应选B。
核心提示
此题目关键在于排除干扰信息：当我们看到“一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为 3%”的时候，一般会认为先设容器有x克盐水，加入y克水之后浓度变为3％，这样其实就中了出题人的圈套了，其实只要设第一次加入水之后的溶液总质量为100就行了。
【例39】 （2006年江苏)把浓度为20％、30％和50％的某溶液混合在一起，得到浓度为36％的溶液50升。已知浓度为30％的溶液用量是浓度为20％的溶液用量的2倍，浓度为30％的溶液的用量是多少升？()
A. 18B. 8C. 10D. 20
【答案】 D
【解析】 设用浓度为20％的溶液的用量是x升,则因为浓度为30％的溶液用量是浓度为20％的溶液用量的2倍，所以浓度为30％的溶液的用量是2x升,因为总容量为50升，所以用50％的溶液50-3x升。
因为它们混合之后，得到的是浓度为36％的溶液，所以
20%×x+30%×2x+50%×(50-3x)=50×36%
解得x=10,所以浓度为30％的溶液的用量是20升，故应选D。
分段计费问题
分段计费问题是比例系数按照数量大小分段变化的问题。例如，交纳个人所得税就是典型的分段计费问题。
【例40】 （2006年广东)某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度0.60元，若每日用电量超过标准用电量，超出部分按基本价格的80%收费，某户九月份用电100度，共交电费57.6元，则该市每月标准用电量为()。
A. 60 度B. 70度C. 80度D. 90度
【答案】 C
【解析】 设每月标准用电量为x度，超出标准的电量为（100-x）度，则由题意，标准用电量所产生的电费为0.6x元,而超出标准用电量部分的电量单价为0.6×0.8=0.48（元/度），因此所产生的电费为0.48×（100-x）元，所以0.6x+0.48×(100-x)=57.6,解此方程得x=80,故应选C。
核心提示
上面这个题目是分两段的类型，接下来将会介绍使用十字交叉法解两段的类型题的简单方法。下面这个是分三段类型，需要大家注意。
【例41】 （2006国考)某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠措施：1.一次购买金额不超过1万元，不予优惠；2.一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；3.一次购买金额超过3万元，其中3万元给九折优惠，超过3万元部分给八折优惠。某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付款7800元，第二次购买原料付款26100元，如果他一次购买同样数量的原料，可以少付()。
A. 1460元B. 1540元C. 3780元D. 4360元
【答案】 A
【解析】 第一次在该供应商处购买原料付款7800元，因为不足1万元，所以没有优惠；
第二次购买付款26100元，在1万元以上，3万元以下，因此是九折优惠后的价格，即购买了原价为26100÷90%=29000（元）的原料；
即原料原价格的和为：7800+29000=36800（元）。
如果一次购买相同数量，即价值36800元的原料，则因为3万元九折优惠，超过3万元部分八折优惠，所以实际支付价格为：
30000×0.9+（36800-30000）×0.8=32440（元）。
所以节省7800+26100-32440=1460（元），故应选A。
混合比例问题
混合比例问题指两种具有不同性质的物品混合为一个整体的问题。其实溶液问题也算是混合比例问题的一个特例。
混合比例问题最常用的方法就是十字交叉法：使用十字交叉图示计算两总量、两关系的混合物的组成成分的比值的方法。
例如：浓度为10%的盐水，和浓度为6%的盐水，混合出浓度为8%的盐水100克，各需要多少克？
浓度的差值比为2%∶2%=1∶1，
因此10%的盐水和6%的盐水质量比=浓度的差值比=1∶1。
所以需要10%的盐水和6%的盐水质量分别为50克和50克。
【例42】（河北选调2009—57）车间共有40人，某次技术操作考核平均成绩为80分，其中男工平均成绩为86分，女工平均成绩为78分，该车间有女工多少人？（）
A. 16B. 24C. 25D. 30
【答案】 D
【解析】 十字交叉法：
802男工866女工7826＝13＝1030,由于总数为40人，所以男、女工分别为10、30人。
使用十字交叉法解决人口比例问题
【例43】 （2000年国家)某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70％。请问55岁以下的人裁减比例约是多少?()
A. 51％B. 43％C. 40％D. 34%
【答案】 B
【解析】 设55岁以下的人裁减比例为x, “某机关共有干部、职工350人……，总体规模压缩为180人”说明总的压缩比例为350-180350=170350=1735，55岁以上有70人，55岁以下有280人。
所以，1735-x314=70280，解得x=121280≈120280=37≈43%，故应选B。
【例44】 （2005年国考)某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个市现有城镇人口()。
A. 30万B. 31.2万C. 40万D. 41.6万
【答案】 A
【解析】 设现有城镇人口x万，则农村人口有70-x万。
设河的宽度为s米，从图中可以看出两船第一次相遇共走了s米；两船第二次相遇共走了3s米，即行程比为1∶3，由于两船停靠时间相同，所以两船行驶的时间也相同，从甲岸出发的船，从出发到第一次相遇走的路程与该船从甲岸出发到第二次相遇所走的行程比为1∶3。
所以s+400720=31，解得s=1760，故应选D。
核心提示
当遇到比较难的行程问题时，不妨使用画图法来寻找其中的等量关系。
【例82】 （2005年广东)把一根钢管锯成 5 段需要 8 分钟，如果把同样的钢管锯成 20 段需要多少分钟?()
A. 32 分钟 B. 38 分钟 C. 40 分钟 D. 152 分钟
【答案】 B
【解析】
如图，钢管锯成５段需要锯４下，因此每锯1下需要2分钟。
那么把同样的钢管锯成 20 段，需要锯19下，因此需要19×2=38（分钟）。
2.时间问题
（1）星期问题
一个星期有7天，一年有365天，如果是闰年就是366天。
365=7×52+1，366=7×52+2
而每相差7天，两个日期的星期数相同。
【例83】 （2004年广东)如果今天的前三天是星期五的前一天，那么明天后面的一天是星期几？()
A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期四
【答案】 B
【解析】 由今天的前三天是星期五的前一天知道今天是星期天，因此明天后面的一天就是星期二。
（2）钟表问题
钟表的特点：
①时针12小时转360度，即一圈；分针60分钟转360度，即一圈。
②时针速度为5格/小时，分针为60格/小时。
③一天24小时，1小时=60分钟。
【例84】 （2002年广东)中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚 12点时，时针与分针重合了多少次？()
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】 B
【解析】 时针速度为5格/小时，分针为60格/小时，所以每次追上需要60÷（60-5）=1211小时,所以12小时一共相遇了12÷（1211）=11次。故应选B。
核心提示
其实钟表问题是周期问题的特例，与钟表问题比起来，周期问题要简单的多，比如下面这个例子。
【例85】 （2005年广东)有a,b,c,d四条直线，依次在a线上写1，在b线上写2，在c线上写3，在d线上写4，然后在a线上写5，在b线，c线和d线上写数字6,7,8…按这样的周期循环下去，问数2005在哪条线上？
A. a线B. b线C. c线D. d线
【答案】 A
【解析】 因为是循环计数，所以每转一圈，各个线段上的数字就会增加一个，共4个，因此我们只要计算2005除以４的余数就可以了。2005＝501×4＋1，故应选A。
3.抽屉原理问题
抽屉原理的简单解释：
三个苹果放进两个篮子，那么必有一个篮子里面至少放进了两个苹果。
抽屉问题的解法：
找到最差情况，临界点。
【例86】 （2009年广东)某单位有52人投票，从甲、乙、丙三人中选出一名先进工作者。在计票过程中的某时刻，甲得17票，乙得16票，丙得11票，如果规定得票比其他两人都多的候选人才能当选。那么甲要确保当选，最少要再得票()。
A. 1张B. 2张C. 3张D. 4张
【答案】 D
【解一】 代数法：
如果甲得了3张票，那么甲就有20张票，同时还剩下52-20-16-11=5张票，如果这5张票被甲最大的竞争对手乙得到，那么乙就有21张票，乙获胜，因此甲必须得到至少4张票才能确保当选。
【解二】 方程法：
因为甲、乙的得票数目较为接近，因此只考虑这两人的竞争，52-17-16-11=8。
考虑8张票在这两人之间的分配，设甲获得的票数为x,那么乙获得票数为8-x。
甲要当选，必须(17+x)>(16+8-x),解得x>35,故应选D。
核心提示
这种题目从倒数第二个大的数字开始验证是因为要寻找满足条件的最小数字，选项中最大的数字肯定能满足条件，所以不用验证最大的数字。
【例87】 （2004年广东)一只袋子里装有44只玻璃球，其中白色的2只，红色的3只，绿色的4只，黄色的5只，棕色的6只，黑色的7只，蓝色的8只，透明的9只。如果每次从中取球一个，那么要得到2只同色的球，最多要取几次？()
A. 2B. 8C. 9D. 11
【答案】 C
【解析】 最差情况就是开始取球后白、红、绿、黄、棕、黑、蓝和透明各取了一个，即取了8次球，然后再取一个球，便必然有两只同色的球了。故应选C。
4.几何问题
常用周长公式：
正方形周长=4×边长；长方形周长=2×（长+宽）；圆的周长=2π×半径。
常用面积公式：
圆的面积=π×半径2；长方形面积=长×宽；正方形面积=边长2。
三角形面积=12×底边长×该边上的高；平行四边形面积=边长×该边上的高。
梯形面积=12×（上底+下底）×高。
角度公式：
三角形内角和为180度，N边形的内角和为（N-2）×180度。
【例88】 （2005年国考)把一个边长4cm的正方形铁丝框拉成两个同样大小的圆形铁丝框，则每个圆铁丝框的面积为？()
A. 8πcm2B. 8/πcm2C. 16πcm2D. 16/πcm2
【答案】 D
【解析】 根据圆的周长公式计算其半径，每个圆的周长为8cm，因此其半径为8/（2π）=4/π（cm）。
因此每个圆铁丝框的面积为π×（4/π）2=16/π（cm2）。故应选D。
【例89】 （2008年广东)若一个边长为20厘米的正方体表面上挖一个边长为10厘米的正方体洞，问大正方体的表面积增加了多少?()
A. 100cm2B. 400cm2C. 500cm2D. 600cm2
【答案】 B
【解析】 正方体表面上挖一个边长为10厘米的正方体洞，增加的表面积就是边长为10厘米的正方体的侧面积，即4个边长为10厘米的正方形的面积，每个正方形的面积是10×10=100（cm2），那么4个正方形的面积就是400cm2。
