第四节极端思维法
一、题型评述
“极端思维”是我们日常生活、学习和工作当中普遍运用的思维方式，是近年来公务员考试的一大热点内容，各位考生务必对此予以足够的重视。
二、破题密钥
当试题当中出现了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字样时，我们通常需要考虑“极端思维法”，即分析题意，构造出满足题意要求的最极端的情形。
三、例题精析
【例1】 （黑龙江政法2009B—13）现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的至少分得（）朵鲜花。
A. 7B. 8C. 9D. 10
［答案］ A
［解析］ 想要“最多的人尽量的少”，就必须保证“尽可能平均”。21÷5=4.2，假设5个人分别为2、3、4、5、6，加起来为20，还差1朵，说明最多的人至少分得6+1=7（朵）。
【例2】 （云南2007—11）有10个学生，其中任意5个人的平均身高都不低于1.6米，那么其中身高低于1.6米的学生最多有（）人。
A. 3B. 4C. 5D. 6
［答案］ B
［解析］ 如果有5人身高低于1.6米，那么这5个人的平均身高肯定也低于1.6米，不满足条件，排除C、D。如果有4人身高低于1.6米，但都与1.6米很接近，而其他6人都远高于1.6米，那么平均起来也可以超过1.6米。所以选择B。
【例3】 （国家2011—79）某城市9月平均气温为28.5度，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过10度，则该月平均气温在30度及以上的日子最多有多少天？（）
A. 24B. 25C. 26D. 27
［答案］ B
［解析］ 9月份共30天，假设有N天达到或超过了30度，那么剩下（30-N）天肯定也达到或超过了20度，即28.5×30≥30×N+20×（30-N）→N≤25.5，最多为25天。
【例4】 （2010年425联考—98）254名志愿者来自不同的单位，任意两个单位的志愿者人数之和不少于20人，且任意两个单位志愿者的人数不同，问这些志愿者所属的单位数最多有几个?（）
A. 17B. 15C. 14D. 12
［答案］ B
［解析］ 要使得这些志愿者所属的单位数尽可能多，就要让每个单位的志愿者数尽可能少。假设这些单位的志愿者人数从少到多分别为a<b<c<d<e<f…“任意两个单位的志愿者数之和不少于20人”，即“a+b≥20”成立，可以构造这两个数分别为9、11（显然，在其他构造的情形下，b大于11，那么后面的数字就会更大），于是这列数字尽可能小地构造为：9、11、12、13、14、15、16…一直到24时，总和为9+(11+24)×142=254，所以最多有15个单位。
【例5】 （2010年425联考—96）有一排长椅总共有65个座位，其中已经有些座位上有人就座。现在又有一人准备找一个位置就座，但是此人发现，无论怎么选择座位，都会与已经就座的人相邻。问原来至少已经有多少人就座?（）
A. 13B. 17C. 22D. 33
［答案］ C
［解析］ 要想使得已经就座的人尽可能的少，又要使得每个空座都有人与之相邻，我们应该构造如下形式：空人空空人空空人空空人空空人空空人空……其实这就相当于每个人占了3个座。那么，想要占满65个座，至少要有22个人。
【例6】 （山东2009—114）用2、3、4、5、6、7这六个数字组成两个三位数，每个数字只用一次，这两个三位数的差最小是多少?（）
A. 47 B. 49C. 69D. 111
［答案］ A
［解析］ 这两个三位数的差要尽可能小，其百位要尽可能的接近，而这六个数字各不相同，所以百位只能相差“1”，而其中大一点的那个百位后面接尽可能小的数，即“23”，小一点的那个百位后面接尽可能大的小数，即“76”，剩下4和5即是百位。即523-476＝47。
【例7】 （黑龙江2010—49，广东2009—12）某单位有52人投票，从甲、乙、丙三人中选出一名先进工作者。在计票过程中的某时刻，甲得17票，乙得16票，丙得11票，如果规定得票比其他两人都多的候选人才能当选。那么甲要确保当选，最少要再得票多少张？（）
A. 1张B. 2张C. 3张D. 4张
［答案］ D
［解析］ 乙对甲的威胁最大，除了丙的11票，还剩52-11=41（票），甲必须得到41票中的多半数（即21票），才能确保高于乙。所以还要再得21-17=4（票）。
【例8】 （2011年424联考—46）10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤?（）
A. 20011B. 50023C. 20D. 25
［答案］ B
［解析］ 满足题目要求时，除了最重的箱子（假设为N）之外，其余箱子的重量应该是一样的（假设为A），那么：N+A+A=1.5×3A，得到N=2.5A，即A=0.4N。因此100=N+0.4N×9，得到N=1004.6=50023（公斤）。
【例9】 （山西政法2009—105）某班40名同学在期末考试中，语文、数学、英语三门课成绩优秀的分别有32人、35人、33人，三门课都优秀的人数至少是()人。
A. 32B. 28C. 24D. 20
［答案］ D
［解析］ 想要“三门课都优秀的人尽量少”，就要让“至少一门课不优秀的人尽可能多”。各门分别有8、5、7人未达到优秀，共8+5+7=20（人次），如果这20人次分配给20个不同的人，就能保证20个人“不都优秀”，这也是最多的情形。所以“三门都优秀的”至少有40-20=20（人）。
【例10】 （安徽2010—12）某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共4题，做对第一题的136人，第二题的125人，第三题的118人，第四题的104人，那么在决赛中至少几个人是满分？（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
［答案］ A
［解析］ 四道题答错的分别有24、35、42、56人，共24+35+42+56=157（人次），尽量分给不同的人以保证得满分的人尽可能少，那么至少还有160-157=3（人）得满分。
【例11】（河北2010—39）某中学初二年级共有620名学生参加期中考试，其中语文及格的有580名，数学及格的有575名，英语及格的有604名，以上三门功课都及格的至少有多少名同学？（）
A. 575B. 558C. 532D. 519
［答案］ D
［解析］ 语数外不及格的分别有40、45、16人，共40+45+16=101（人次），尽量分给不同的学生以保证三门功课都及格的人尽可能少，那么至少还有620-101=519（人）三门都及格。
【例12】 （2010年918联考—40）某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有（）人以上四项活动都喜欢。
A. 5B. 6C. 7D. 8
［答案］ A
［解析］ 不爱好这四者的分别有11、16、8、6人，共11+16+8+6=41（人次），分配给不同的人以保证都喜欢的人尽可能少，那么至少还有46-41=5（人）这四项活动都喜欢。
【例13】（国家2008—56）共有100人，参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80、92、86、78和74人答对，答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试?（）
A. 30B. 55C. 70D. 74
［答案］ C
［解析］ 1～5题分别有20、8、14、22、26人答错，共90人次。这90人次的错题最多可以分配给30个人，使得这30个人每人错3道（恰好不通过），那么至少还有100-30=70（人）肯定会通过。
［点睛］ 本题可以保证90道错题恰好分配给30个人，但如果数字有变，还要具体问题具体分析。
四、强化练习
［习题01］ （河北2009—108）100名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？()
A. 11B. 12C. 13D. 14
［习题02］ 某中学在高考前夕进行了 4次数学摸底考试，成绩一次比一次好：第一次得80分以上的比例是70%；第二次是75%；第三次是85%；第四次是90%。请问在四次考试中都得80分以上的学生的百分比至少是多少？（）
A. 20%B. 40%C. 50%D. 80%
［习题03］ （广东2010—10）公司某部门80%的员工有本科以上学历，70%有销售经验，60%在生产一线工作过。该部门既有本科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工的()。
A. 20%B. 15%C. 10%D. 5%
五、习题简析
［习题01］A
［简析］ 丙对甲的威胁最大，除了乙的10票，还剩100-10=90（票），甲必须得到90票中的多半数（即46票），才能确保高于丙。所以还要再得46-35=11（票）。
［习题02］A
［简析］ 四次考试不足80分的分别占30%、25%、15%、10%，我们将四次考试不足80分的同学构造为没有重复的情形（这时候四次考试都得80分以上的学生数最少），那么，四次考试中有一次不足80分的同学有30%+25%+15%+10%=80%，而四次得分都在80分以上的有1-80%=20%。
［习题03］C
［简析］ 不满足这三个条件的分别有20%、30%、40%，我们把总比例20%+30%+40%=90%分配给不同的员工，以保证满足三个条件的员工尽可能少，还有至少10%的员工满足这三个条件。