上篇数学运算
第一章代入与排除法
第一节直接代入法
一、题型评述
数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却很容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时的误区之一。
二、破题密钥
“直接代入法”广泛应用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等。这种方法不仅可以单独使用，达到一招制胜的效果，还可以与其他方法结合使用。
三、例题精析
【例1】（福建漳州事业单位2010—86）一个两位数除以5余3，除以7余5，这个数最大是（）。
A. 33B. 37C. 68D. 72
［答案］ C
［解析］ 从最大数字开始代入：D不满足，C满足，选择C。
［点睛］ 典型同余问题，也可以用同余问题核心口诀解题。
【例2】 (安徽2008—7)一个袋子里放着各种颜色的小球，其中红色球占14，后来又往袋子里放了10个红球，这时红球占总数的23，问原来袋子里有多少个球？（）
A. 8B. 12C. 16D. 20
［答案］ A
［解析］ 直接代入，发现A满足条件。
［点睛］ 典型和差倍比问题。
【例3】（北京社招2009—13）某个三位数的数值是其各位数字之和的23倍。这个三位数为（）。
A. 702B. 306C. 207D. 203
［答案］ C
［解析］ 直接代入，很明显：702≠23×9，306≠23×9，207＝23×9，203≠23×5。选择C。
［点睛］ 典型多位数问题。判断的时候可以使用尾数法以提高效率。
【例4】（北京社招2007—17）装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（）
A. 3，7B. 4，6C. 5，4D. 6，3
［答案］ A
［解析］ A选项：3个大盒7个小盒可装产品3×11+7×8＝89（个）（符合），选A。
［点睛］ 典型不定方程问题。
【例5】（河北选调生2009—58）甲、乙各有书若干本，若甲给乙8本，则乙比甲所剩的书多3倍，若乙给甲7本，则甲、乙两人书的数量相等，那么甲、乙各有多少本书？（）
A. 甲18本，乙32本B. 甲20本，乙34本
C. 甲23本，乙37本D. 甲24本，乙38本
［答案］ A
［解析］ 直接代入即可。
［点睛］ “多3倍”即“是4倍”的意思。
【例6】（山西2009—101）金放在水里称，重量减轻119；银放在水里称，重量减轻110。一块金银合金重770克，放在水里称，共减轻了50克。这块合金含金银各多少克？（）
A. 380，390B. 475，295
C. 530，240D. 570，200
［答案］ D
［解析］ A选项：减轻了380÷19＋390÷10＝20＋39≠50，排除；B选项：减轻了475÷19＋295÷10＝25＋29.5≠50，排除；C选项：减轻了530÷19＋240÷10≠50，排除；D选项，减轻了570÷19+200÷10＝30+20＝50，选择D。
【例7】（河北政法2010—7）已知：若○+△=12，△+△+○=15，那么○=？，△=？（）
A. 6，6B. 7，5C. 9，3D. 8，4
［答案］ C
［解析］ 直接代入验算即可。
［点睛］ 本题可以把○当做x，把△当做y，通过求解方程组来完成答题。
【例8】（广东2010—8）有一些信件至少有15封，把它们平均分成三份后还剩2封，将其中两份平均三等分还多出2封，问这些信件至少有多少封？()
A. 20B. 26C. 23D. 29
［答案］ C
［解析］ 从最小数字开始代入。A选项：20三等分，每份为6，两份为12，三等分没有剩余，排除；C选项：23三等分，每份为7，两份为14，再三等分正好多2封，选择C。
【例9】 A、B、C三件衬衫的总价格为520元，分别按9.5折、9折、8.75折出售，总价格为474元，A、B两件衬衫的价格比为5∶4，则A、B、C三件衬衫的价格分别是多少元？（）
A. 250，200，70B. 200，160，160
C. 150，120，250D. 100，80，340
［答案］ B
［解析］ 直接代入。经过简单计算，三件衬衫分别便宜了120、110、18，总共便宜了520-474=46（元）。A选项：250÷20+200÷10+70÷8，显然不是整数，排除；B选项：200÷20+160÷10+160÷8=10+16+20=46（元），选择B。
【例10】（北京社招2010—81）将大米300袋、面粉210袋和食用盐163袋按户分给某受灾村庄的村民，每户分得的各种物资相等且均为整数袋，余下的大米、面粉和食用盐的袋数之比是1∶3∶2，则该村有多少户村民？（）
A. 7B. 9C. 13D. 23
［答案］ D
［解析］ 直接代入。A选项，7户村民，面粉正好发完，排除；B选项，9户村民，大米和面粉都剩3袋，排除；C选项，13户村民，大米、面粉分别剩1、2袋，排除；D选项，23户村民，大米、面粉、食用盐分别剩1、3、2袋，满足条件，选择D。
【例11】（山西政法2009—104）体育课上，全班同学站成一排按1至5报数，凡报到5的同学出列。余下的同学仍按1至5报数，同样报到5的同学出列。这样进行了6轮，还剩下19人，则全班共有人数可能为（）人。
A. 114B. 82C. 74D. 66
［答案］ D
［解析］ 直接代入，报5的人数应该是“总数除以5，再取其整数部分”。
A选项：114(-22)→92(-18)→74(-14)→60(-12)→48(-9)→39(-7)→32，不是19人，排除A；
B选项：82(-16)→66(-13)→53(-10)→43(-8)→35(-7)→28(-5)→23，不是19人，排除B；
C选项：74(-14)→60(-12)→48(-9)→39(-7)→32(-6)→26(-5)→21，不是19人，排除C；
D选项：66(-13)→53(-10)→43(-8)→35(-7)→28(-5)→23(-4)→19，选择D。
［点睛］ 上述代入的过程中，C选项可以接着A选项的中间过程代入，D选项可以接着B选项的中间过程代入。本题不可以用逆推法，因为逆推的结果是不唯一的。
四、强化练习
［习题01］（四川2008—7）两个数各加2的比为3∶2，两个数各减4的比为2∶1,问这两个数各是多少？（）
A. 16，10B. 14，12C. 16，8D. 18，10
［习题02］(内蒙古2008—11)甲、乙、丙、丁四个数的和是43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，都相等，问这四个数分别是多少？（）
A. 14，12，8，9B. 16，12，9，6
C. 11，10，8，14D. 14，12，9，8
［习题03］ 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数最小值可能是多少？（）
A. 140B. 569C. 712D. 998
［习题04］（北京应届2009—22）1分、2分和5分的硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分，那么三种硬币各多少枚？（）
A. 51，32，17B. 60，20，20C. 45，40，15D. 54，28，18
五、习题简析
［习题01］A
［简析］ 直接代入，发现A满足条件。
［习题02］D
［简析］ 直接代入，只有D满足条件。
［习题03］D
［简析］ 从最小数字开始代入：A、B、C都不满足，只有D满足。
［习题04］A
［简析］ 直接代入，只有A满足“2分硬币价值比1分硬币价值多13分”。