第六节逆向分析法
一、题型评述
很多数学试题，从正面不容易着手，这时可以从它的反面去考虑，运用“逆向思维”进行分析。
二、破题密钥
逆向推导型：将变化过程完全颠倒，交换运算法则，从后往前逆推，得到初始值。
正反互补型：若“正面”不好求解，用“总体”剔除与之互补的“反面”来求解。
三、例题精析
● 题型一：逆向推导型
【例1】 （河北2010—33）两个水桶共盛40斤水，如果把第一个桶里的8斤水倒入第二个水桶里，两个水桶里的水一样多，第二桶水重多少斤？（）
A. 21B. 18C. 12D. 10
［答案］ C
［解析］ 倒过来8斤水之后第二个桶有40÷2=20（斤），说明之前有20-8=12（斤）。
【例2】 （江苏2008A—24）一个箱子中有若干个玩具，每次拿出其中的一半再收回去一个玩具，这样共拿了5次，箱子里还有5个玩具，箱子原有玩具的个数为（）个。
A. 76B. 98C. 100D. 120
［答案］ B
［解一］ 我们知道，原题过程为“÷2、＋1”重复五次，逆过程就是“-1、×2”重复五次：
5-14×28-17×214-113×226-125×250-149×298，故B项正确。
［解二］ 本题还可以根据数字特性来代入排除，明显原有玩具的个数去掉一半再收回一个之后还应该是偶数，满足这个条件的只有B选项。
【例3】 （吉林2010—9）从某货栈运大米，大车运走一半又2袋，小车运走余下的一半又2袋，人力车再运走余下的一半又2袋，这时仓库里还有2袋，如果这批大米共值2200元，每袋大米值（）。
A. 22元B. 44元C. 100元D. 50元
［答案］ D
［解析］ “运走一半”相当于“除以2”，“又2袋”相当于“减去2”，我们将这个过程及其运算法则完全颠倒过来：“÷2→-2→÷2→-2→÷2→-2”变成“+2→×2→+2→×2→+2→×2”，即2→4→8→10→20→22→44。因此每袋大米值：2200÷44=50（元）。
【例4】 施工队修建某乡镇到县城的一条公路，第一天修了全长的一半多6千米，第二天修了剩下的一半还少20千米，第三天修了30千米，最后还剩14千米没修，则这条路全长（）千米。
A. 72B. 96C. 108D. 120
［答案］ C
［解析］ 逆向推导：14→44→24→48→54→108。
［点睛］ 题干中“多6千米”指的是“-6”，逆过来就是“+6”；“少20千米”指的是“+20”，逆过来就是“-20”。
【例5】 有砖26块，兄弟两人争着挑，弟弟抢在前边，刚摆好砖，哥哥赶到了，哥哥看弟弟挑得太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥哥那抢走一半，哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，问最初弟弟挑多少块？()
A. 14B. 16C. 18D. 20
［答案］ B
［解析］ 逆向推导，简单计算易知哥哥、弟弟最终分配为“14块、12块”，那么上一次应该是“9块、17块”，再上一次是“18块、8块”，最开始是“10块、16块”。
● 题型二：正反互补型
【例6】 （湖北黄冈事业单位2010—79）用2、4、5、7这四个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第（）个数字。
A. 19B. 20C. 18D. 17
［答案］ B
［解析］ 一共有24个四位数，其中比7254大的有7425、7452、7524、7542这四个数，那么7254是第20个数字。
【例7】 （北京社招2010—79）甲、乙两人从5项健身项目中各选2项，则甲、乙所选的健身项目中至少有1项不相同的选法共有（）。
A. 36种B. 81种C. 90种D. 100种
［答案］ C
［解析］ 任意选择有C25×C25=100（种），完全相同的有C25=10（种），至少1项不同的有100-10=90（种）。
【例8】 一个边长为7的立方体，由若干个边长为1的立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？（）
A. 296B. 184C. 218D. 254
［答案］ C
［解析］ 一共有73＝343（个）小立方体，把被涂上颜色的外层去掉之后，剩下一个较小的立方体，其边长为5，所以共有53=125（个）小立方体没有被涂上颜色，被涂上颜色的就有343-125=218（个）。
【例9】 一个边长为20的方阵，最外面三圈人数总和为多少？（）
A. 196B. 204C. 256D. 324
［答案］ B
［解析］ 方阵边长为20，总人数为400，除去最外面三圈人数，里面的小方阵边长为20-2×3＝14，人数为196，所以最外面三圈人数为400-196＝204（人）。
四、强化练习
［习题01］ （黑龙江政法2009A—13）小明的妈妈买了一些糖果。小明看见了，第一次吃了一半又多吃一块；第二次吃了剩下的一半再多吃一块；第三次又吃了剩下的一半再多吃一块。第四天，小明的妈妈打开抽屉一看只剩一块糖果。小明的妈妈买了（）块糖果。
A. 10B. 18C. 22D. 20
［习题02］ 5个男生与6个女生，从中选出5人出来参加智力大赛，要求其中至少有1名男生，请问一共有多少种方法？()
A. 367B. 412C. 456D. 524
五、习题简析
［习题01］C
［简析］ 逆向推导：1→2→4→5→10→11→22。
［习题02］C
［简析］ C511- C56＝462-6=456（种）。