第二节倍数特性法
一、题型评述
“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。
二、破题密钥
①2、4、8整除及余数判定基本法则
一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；
一个数能被4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或 25）整除；
一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。
一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数；
一个数被4（或 25）除得的余数，就是其末两位数被4（或 25）除得的余数；
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。
【示例】∵3752的末两位数字“52”能被4整除∴3752能被4整除
【示例】∵2988的末三位数字“988”不能被8整除∴2988不能被8整除
【示例】∵25198903的末两位数字“03”除以“4”余3∴25198903除以4余3
【示例】∵198903的末三位数字“903”除以“8”余7∴198903除以8余7
【示例】∵1975的末两位数字“75”能被25整除∴1975能被25整除
【示例】∵25903的末三位数字“903”除以“125”余28∴25903除以125余28
②3、9整除及余数判定基本法则
一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；
一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。
一个数被3除得的余数，就是其各位数字和被3除得的余数；
一个数被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。
【示例】∵1941各位数字之和“1+9+4+1=15”能被3整除∴1941能被3整除
【示例】∵1935各位数字之和“1+9+3+5=18”能被9整除∴1935能被9整除
【示例】39130825198368的各位数字之和为：3+9+1+3+0+8+2+5+1+9+8+3+6+8=66
∵66不能被9整除∴这个数不能被9整除
∵66除以9余3∴这个数除以9余3
③7整除判定基本法则
一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；
一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。
【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除∴362不能被7整除
【示例】∵483末一位“3”的2倍与“48”差“42”能被7整除∴483能被7整除
【示例】∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除∴12047能被7整除
【示例】∵23015末三位“015”与“23”差“8”不能被7整除∴23015不能被7整除
④11整除判定基本法则
一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数；
一个数是11的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为11的倍数。
【示例】∵7394奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是11的倍数∴7394不能被11整除
【示例】∵29381奇数位之和“2+3+1＝6”与偶数位之和“9+8＝17”做的差“17-6＝11”是11的倍数∴29381能被11整除
【示例】∵15235末三位“235”与剩下的“15”之差“220”能被11整除∴15235能被11整除
⑤13整除判定基本法则
一个数是13的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为13的倍数。
【示例】∵181235末三位“235”与“181”差“54”不能被13整除∴181235不能被13整除
【示例】∵624546末三位“546”与“624”差“78”能被13整除∴624546能被13整除
核心提示：从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位数与剩下的数之差。这源自于以下经典分解：1001＝7×11×13。
三、例题精析
● 题型一：直接倍数
【例1】（河南选调生2010—46）一块镍铝合金重500g，放于水中称减少质量32g，已知镍在水中减轻119，铝在水中减轻110，则这块合金中镍铝的质量分别是多少克？（）
A. 380，120B. 360，140C. 340，160D. 320，180
［答案］ A
［解析］ 镍在水中减轻119，那么镍的质量应该是19的倍数，选择A。
【例2】（吉林2009乙—10）一个班级租车出去游玩，租车费用平均每人40元，如果增加7个人，平均每人35元，则这个班级一共花了（）元。
A. 1850B. 1900C. 1960D. 2000
［答案］ C
［解析］ 增加7个人之后平均每人35元，所以总共花费肯定是35也就是7的倍数。
【例3】（湖北村官2010—108）A、B、C三个桶中各装了一些水，现将A桶的13的水倒入B桶，再将B桶的15倒入C桶，最后将C桶现有的17倒入A桶，这时，三个桶中的水都是12升。这三个桶中原有水各多少升？（）
A. 10，15，11B. 15，10，11
C. 10，12，14D. 12，10，14
［答案］ B
［解析］ A桶一开始应该是3的倍数，排除A、C；A桶中的13倒入B桶后，B桶应该是5的倍数，排除D,选择B。
【例4】（国家2009—109）甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少非专业书？（）
A. 75B. 87C. 174D. 67
［答案］ B
［解析］ 甲的书中，专业书占13%=13100；乙的书中，专业书占12.5%=18。因此，甲、乙的书的总数分别是100、8的倍数，甲可以是100或者200。若甲有200本书，那么乙有60本书，不是8的倍数；所以甲有100本书，其中非专业书有100－100×13%＝87（本）。
【例5】奥运期间，浙江某公交集团甲公司调用其公司60辆车的16给北京某公交集团乙公司支持奥运，此时甲公司现有车辆仍比乙公司现有车辆的78还多8辆，则乙公司原有（）辆车。
A. 38B. 42C. 48D. 52
［答案］ A
［解析］ 乙公司接受甲公司的60×16=10（辆）汽车后应该是8的倍数，只有A满足条件。
【例6】（黑龙江政法2009B—14）某车间加工一批零件，原计划每天加工100个，刚好如期完成。后改进技术，每天多加工10个，结果提前2天完成。这批零件有（）。
A. 1800个B. 2000个C. 2200个D. 2600个
［答案］ C
［解析］ 改进技术后，每天加工110个，零件应该是11的倍数，选择C。
【例7】（浙江2010—78）一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？（）
A. 17B. 16C. 15D. 14
［答案］ C
［解一］ 这个四位数能被15整除，因此肯定是3的倍数，其各位数字相加也肯定是3的倍数，根据选项，选择C。
［解二］ 假设这个数为x，则x15+x12+x10=1365→x＝5460。
● 题型二：因子倍数
【例8】（河南选调生2010—44）一块长方形菜地长与宽的比是5∶3，如果长增加2米，宽减少1米，则面积增加1平方米，那么这块长方形菜地原来的面积是多少平方米？（）
A. 100B. 135C. 160D. 175
［答案］ B
［解析］ 菜地长与宽之比为5∶3，说明宽有3因子，那么面积也应该有3因子，选择B。
【例9】（国家2011—69）某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总人数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？（）
A. 329B. 350C. 371D. 504
［答案］ A
［解析］ 今年男员工是去年的1-6%=94%，那么数字里面肯定有47因子，选择A。
【例10】（2011年424联考—43）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少?（）
A. 9B. 12C. 15D. 18
［答案］ B
［解析］ 第三名员工的工号，加上6之后，应该是第九名员工的工号，应该是9的倍数，所以第三名员工的工号各位数字之和，加上6，也应该是9的倍数，由此可以选出正确答案。
【例11】（天津2008—15）四个相邻质数之积为17017，它们的和为（）。
A. 48B. 52C. 61D. 72
［答案］ A
［解析］ 直接因数分解：17017＝17×1001＝17×7×11×13。
【例12】 甲、乙、丙三队共有10名选手参加围棋比赛。每名选手都与其余9名选手各赛一局，每局棋胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。结果甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分，则甲队有几名选手参赛？（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
［答案］ A
［解析］ 根据规则，每队的总分肯定是整数，或者“整数+0.5”的形式，而乙队平均分为3.6分，说明其人数肯定有5因子，才能保证其满足前面所述要求。总共才10人，说明乙队正好5人，那么甲队肯定不到5人，结合选项，选择A。
【例13】（湖北2009—93）赵先生 34岁，钱女士30岁。一天他们碰上了赵先生的三个邻居，钱女士问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年龄各不相同，三人的年龄之积是2450，三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居中年龄最大的是多少岁？（）
A. 42B. 45C. 49D. 50
［答案］ C
［解析］ 假设这三人年龄从大至小分别为x、y、z岁，则
x+y+z=34+30=64
x·y·z=2450
明显2450不是3的倍数，所以年龄当中不应该有3的倍数存在，排除A、B。如果C正确，即最大年龄x＝49，那么我们有（注意y>z）
y+z=64-49=15
y·z=2450÷49=50→y=10
z=5
明显满足条件，所以选择C。
［点睛］ 运用代入法进行求解时，只要有一个答案完全满足条件，那么就不必再去代入其他的选项。事实上，如果将D代入，将得到两个相等的根：y=z=7，与条件相悖。
【例14】 请问1000！（1000的阶乘）末尾一共有多少个连续的“0”？（）
A. 200B. 240C. 249D. 500
［答案］ C
［解析］ 1000！末尾一共有多少个连续的“0”，取决于1000！一共有多少个10因子。而10＝2×5，1000！当中2因子肯定会比5因子要多，那么1000！里有多少个5因子就决定了其末尾有多少个连续的“0”。我们知道，1000！是从1～1000这1000个数相乘，我们来分情况讨论：①1000÷625＝1…375，说明1～1000里有1个625＝54的倍数；②1000÷125＝8，说明1～1000里有8个125＝53的倍数；③1000÷25＝40，说明1～1000里有40个25＝52的倍数；④1000÷5＝200，说明1～1000里有200个5＝51的倍数。以上这些数的5因子统统加起来就是答案，在计算的时候注意重复的情形（前种情形都是包含在后种情形当中），那么总共的5因子应该有：4×1+3×（8-1）+2×（40-8）+1×（200-40）＝249（个）。
［点睛］ 本题可以直接这样计算：
10005+100025+1000125+1000625=200+40+8+1=249（个）。
● 题型三：比例倍数
核心提示
若a∶b=m∶n，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。
【例15】（安徽政法2009—10）2005年父亲的岁数是儿子的岁数的6倍，2009年，父亲的岁数是儿子的岁数的4倍，则2009年父亲和儿子的岁数和是（）。
A. 28B. 36C. 46D. 50
［答案］ D
［解析］ 2009年，父亲与儿子年龄比为4∶1，两人年龄和肯定是5的倍数，选择D。
【例16】（河南政法2010A—46）甲、乙两仓库存货吨数比为4∶3，如果由甲仓库中取出8吨放到乙仓库中，则甲、乙两仓库存货吨数比为4∶5。两仓库原存货总吨数是多少？（）
A. 94B. 87C. 76D. 63
［答案］ D
［解析］ 甲、乙两仓库原存货之比为4∶3，总存货应该是7的倍数，选择D。
【例17】 （北京社招2010—84）某公司为客户出售货物，收取3％的服务费；代客户购置设备，收取2％的服务费。某客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备。已知公司共收取该客户服务费200元，客户收支恰好平衡，则自产的物品售价是多少元？（）
A. 3880B. 4080C. 3920D. 7960
［答案］ B
［解析］ 假设该公司自产物、购置物的售价分别为x、y元，根据“收支恰好平衡”，可知(1-3%)x=(1+2%)y→x∶y=102∶97，说明x是102的倍数，结合选项，选择B。
【例18】 （河南选调生2010—41）在一次测验中，甲答对4道题，乙答错题目总数的16，两人都答对的题目是总数的14。那么乙答对了多少题？（）
A. 10B. 8C. 20D. 16
［答案］ A
［解析］ “乙答对数∶总数=1-16=56”，说明乙答对数是5的倍数，排除B、D。乙若答对了20道，那么总数为：20÷56=24（道），两人都答对：24×14=6（道），超过甲单独答对的，矛盾，排除C，选择A。
【例19】（江苏2010C—33）某城市有A、B、C、D四个区，B、C、D三区的面积之和是A的14倍，A、C、D三区的面积之和是B的9倍，A、B、D三区的面积之和是C区的2倍，则A、B、C三区的面积之和是D区的（）。
A. 1倍B. 1.5倍C. 2倍D. 3倍
［答案］ A
［解析］ 如果A占1份，那么B、C、D占14份，说明A占全城的115；如果B占1份，那么A、C、D占9份，说明B占全城的110；如果C占1份，那么A、B、D占2份，说明C占全城的13。综上，D占全城的1-115-110-13=12，说明A、B、C三区的面积之和是D的1倍。
【例20】（国家2009—117）甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的14，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的13，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩？（）
A. 9000B. 3600C. 6000D. 4500
［答案］ B
［解析］ 根据比例关系，甲、乙、丙分别占总数的15、14、13，如果假定总数为60份，甲、乙、丙分别为12、15、20份，丁还剩13份（3900亩），每份为3900÷13=300（亩），那么甲有12×300=3600（亩）。
［点睛］ 当算得丁为13份时，可以判断甲12份比丁要少，即少于3900亩，直接选B。
【例21】（湖北2009—97）甲乙两个工厂的平均技术人员比例为45%，其中甲厂的人数比乙厂多12.5%，技术人员的人数比乙厂多25%，非技术人员人数比乙厂多6人，甲乙两厂共有多少人？（）
A. 680B. 840C. 960D. 1020
［答案］ A
［解析］ 甲厂人数比乙厂多12.5%，则甲、乙两厂人数之比为9∶8，甲占9份，乙占8份，一共17份，选项当中B、C不是17的倍数，排除。将A代入，680人分成17份，每份为40，则甲有9份360人，乙有8份320人。技术人员总数为：680×45%＝306（人），甲厂技术人员比乙厂多25%，则甲、乙两厂技术人员数之比为5∶4，甲占5份，乙占4份，一共9份，306人分成9份，每份为34人，甲有5份170人，乙有4份136人。由已知数据可得：甲厂有非技术人员360－170＝190（人），乙厂有非技术人员320－136＝184（人），两厂非技术人员相差190－184＝6（人），与题目吻合，选择A。
四、强化练习
［习题01］（陕西2008—9）一本书，若小静第一天读了12.5%，第二天读了37.5%，第二天比第一天多读了32页，则这本书共多少页？（）
A. 98B. 108C. 118 D. 128
［习题02］（陕西2008—17）火树银花楼七层，层层红灯按倍增加，共有红灯381个，试问四层有几个红灯？（）
A. 24 B. 28 C. 36 D.37
［习题03］ 小明骑自行车去外婆家，原计划用5小时30分，由于途中有335千米的道路不平，走这段路时，速度相当于原计划速度的34，因此，晚到了12分钟，请问小明家和外婆家相距多少千米？（）
A. 33B. 32C. 31D. 34
［习题04］（江苏2008A—20）五个一位正整数之和为30，其中两个数为1和8，而这五个数的乘积为2520，则其余三个数为（）。
A. 6，6，9B. 4，6，9C. 5，7，9D. 5，8，8
［习题05］ （山东2008—37）甲、乙、丙、丁四人为地震灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙捐款数是另外三人捐款总数的13，丙捐款数是另外三人捐款总数的 14，丁捐款 169元。问四人一共捐了多少钱？（）
A. 780元B. 890元C. 1183元D. 2083元
五、习题简析
［习题01］D
［简析］ 小静第一天读了12.5%=18，所以总页数应该是8的倍数。
［习题02］A
［简析］ 很明显，第四层应该是第一层的8倍，是8的倍数。
［习题03］A
［简析］ 小明原来去外婆家需要5小时30分，即5.5小时，而路程＝速度×时间，5.5小时当中有11因子，所以路程当中也应该含有11因子，所以选择A。
［习题04］C
［简析］ 简单判断可知2520有5和7因子，应该选择C。
［习题05］A
［解析］ 甲占1份，则乙、丙、丁占2份，总共3份，是3的倍数。
