第五节枚举归纳法
一、题型评述
解题时，直接列举满足条件的所有情况，从而得到答案的方法叫做“枚举法”；在此基础之上，总结提炼出其通用性质，从而解出更复杂的情形，这种方法叫做“归纳法”。
二、破题密钥
枚举法：当满足条件的情形比较少时，直接一一列举。
归纳法：当答案要求的数字很大时，我们从较小的数字出发，总结归纳其通用规律。
三、例题精析
● 题型一：枚举法
【例1】 （四川2009—10）将参加社会活动的108个学生平均分成若干小组，每组人数在8人到30人之间，则共有（）种不同的分法。
A. 3B. 4C. 5D. 6
［答案］ B
［解析］ 枚举8与30之间108的约数：9、12、18、27满足题意，共4个。
【例2】 （国家2011—80）一个班的学生排队，如果排成3人一排的队列，则比2人一排的队列少8排；如果排成4人一排的队列，则比3人一排的队列少5排。这个班的学生如果按5人一排来排队的话，队列有多少排？()
A. 9B. 10C. 11D. 12
［答案］ C
［解析］ 我们假设学生共有N人，记｛X｝为不小于X的最小整数，则
N2-N3=8
N3-N4=5→N2-N4=13
当N是4的倍数的时候，N2-N4=13的解为N=52。若N不是4的倍数，我们枚举代入52附近的数字，发现N=51、53、54都满足条件。将这4个数字代入前面两个方程，只有N=52满足条件，525=11（排）。
［点睛］ 当我们计算得到N=51、52、53、54时，无论哪个数字，最后都会排成11排。
● 题型二：归纳法
【例3】（四川2010—10）某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按此规律，6小时后细胞存活的个数是（）个。
A. 63B. 65C. 67D. 71
［答案］ B
［解析］ 我们把每小时的细胞个数列出来：2、3、5、9、17、33、65，选择B。
［点睛］ 注意：上述数字中，第一个数字“2”是初始状态，6小时后对应的不是第6个数字而是第7个数字。本题仅问6小时之后的个数，全部列出来并不复杂，我们观察数字可以发现，N小时后的个数应该为2N+1个，因此，对于较大的数字，我们可以直接代入此公式。
【例4】 十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？（）
A. 55B. 67C. 74D. 89
［答案］ D
［解析］ 答案数字太大，我们可从数字较小的阶数进行归纳，提取规律：
楼梯阶数12345678910走完楼梯的方法数12358（13）（21）（34）（55）（89）通过前五项数字，我们容易观察到：从第三项开始，每一项都等于前两项之和。选择D。
［点睛］ 当我们再次遇到本题型时，只需要直接列出这一串数列，从中找到答案即可。
【例5】 小璐有9元钱，她准备从明天起，用这9元钱每天买一个冰激凌或者一盒果冻吃。冰激凌1元一个，果冻2元一盒。请问小璐花完这9元钱一共有多少种方法？（）
A. 21B. 34C. 55D. 89
［答案］ C
［解析］ 本质与上例完全相同，列出数字：1、2、3、5、8、13、21、34、55，选择C。
【例6】 （福建漳州事业单位2010—94）100张多米诺骨牌整齐地排成一列，依顺序编号为1、2、3、…、99、100。第一次拿走所有奇数位置上的骨牌，第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌，第三次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌，依此类推。请问最后剩下的一张骨牌的编号是多少？（）
A. 32B. 56C. 64D. 88
［答案］ C
［解析］ 第一次剩余：2、4、6、8、10、…100，都是2的倍数；第二次剩余：4、8、12、…100，都是4的倍数；第三次剩余：8、16、24、…96，都是8的倍数。依此类推：第四次剩余16的倍数；第五次剩余32的倍数；第六次剩余64的倍数——只剩下64。选择C。
【例7】 有9颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃糖的方式？（）
A. 256B. 512C. 1024D. 2048
［答案］ A
［解析］ 答案数字太大，我们可从数字较小的糖数进行归纳，提取规律。1颗糖：1，只有1种吃法；2颗糖：1+1、2，有2种吃法；3颗糖：1+1+1、1+2、2+1、3，有4种吃法。依此类推，吃完n颗糖的方式一共有2n-1种。答案为：29-1=256（种）方式。
【例8】 平面上7条直线最多能把平面分成几个部分？（）
A. 22B. 29C. 37D. 46
［答案］ B
［解析］ 平面上画7条直线过于复杂，我们可从数字较小的直线进行归纳，提取规律：
直线条数0123456789平面分成的部分124711（16）（22）（29）（37）（46）通过前五项数字，我们容易观察到：这是一个二级等差数列，两两做差分别为1、2、3、4、5、6、…因此选择B。
［点睛］ 本题是“直线分割平面”，如果换成“直线分割圆”，本质和答案都是相同的。
四、强化练习
［习题01］ （江苏2009—75）整数15具有被它的十位数字和个位数字同时整除的性质，则在12和50之间（包括12和50）具有这种性质的整数的个数是（）。
A. 8个B. 10个C. 12个D. 14个
［习题02］ （山西路警2010—16）有8级台阶，一位小朋友从下往上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去可能有多少种不同方法？（）
A. 21B. 29C. 34D. 35
［习题03］ 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按此规律，12小时后细胞存活的个数是（）个。
A. 4000B. 4096C. 4097D. 4098
五、习题简析
［习题01］A
［简析］ 枚举：十位数字为1的数有12、15；十位数字为2的数有22、24；十位数字为3的数有33、36；十位数字为4的数有44、48。
［习题02］C
［简析］ 列出数字：1、2、3、5、8、13、21、34，选择C。
［习题03］C
［简析］ 代入公式2N+1=212+1=4097（个）。