图形推理知识框架
第一节 规律推理：数量类
本节概述
1.概要说明
数量类规律推理属于规律推理中的一种。数量是指图形中包含某种元素的多少，比如含有几条边、含有几种元素等。这类题目中的每个图形仅代表一个或几个数量。
2.识别方法
观察题干中的图形组成元素是否凌乱，或者部分相同元素数量上的变化是否明显。如果某道题目组成元素凌乱，那么可以判别该题目为数量类规律推理。
一、点
核心阐述
“点”是指图形中常常包含有“点”的要素，蕴涵着交点数的变化。这里的交点数，主要是指线与线之间的交点数，包含交点、切点、割点等。
【试题精讲】
例1.2003-国考A类-24
A B C D
【解析】 观察本题第一组图形，第一幅图是三条直线相交，第二幅图是两条直线和一条折线相交，第三幅图是两条折线和一条直线相交，但其共同点是三幅图都有三个交点。第二组图形延续了这一规则，前两幅图均为三个交点，分别是两条直线一条折线、三条直线相交得出，因此应选择有三个交点的，即B项。
例2.2002-国考A类-50
A B C D
【解析】 观察本题第一组图形，发现三幅图都是由多边形和直线组成，三幅图中多边形和直线交点的个数分别是4，3，2，呈递减趋势。第二组的三幅图也都是由多边形和直线组成，前两幅图中多边形和直线交点的个数分别是3，2，按照这种递减趋势，第三幅图中多边形与直线的交点数应是1，故选择B项。
题型引申
在点数量问题中，近年对于交点的定义思路更加开阔，常常包括各类交点，其既包括圆和直线的交点，又包括直线之间的交点（如在例2中的割点），有时甚至还包括线段的起点和终点。
★ 2009-浙江-59
A B C D
【解析】 四个图都是由圆和线段组成，每个圆和线段之间都有相切，因此很容易想到切点的数量。四个图中，圆与直线的交点数量分别是2，1，2，3，无明显规律。进一步观察线段的特征，发现四个图的线段之间也有相交，线段的交点数量分别为1，3，3，3。将所有交点的数量叠加可得总交点数为：3，4，5，6，因此第五幅图应有7个交点，因此选择A项。
★ 2009-北京应届-26
A B C D
【解析】 第一组的三个图内外相交的交点数分别是2，3，5，2+3=5；第二组图的前两个图内外相交的交点数分别是1，4，由1+4=5可得应选择D项。
张老师提示
如何识别“交点数量问题”
交点数问题常见于对比推理题目中，偶见于类比推理。其题目特点是一般具有一条明显的割线，可以得到一组清晰的交点数，并且一组中的几幅图外观非常相似。
【试题演练】
1.2004-浙江-56
A B C D
2.2005-广东下半年-67
A B C D
试题解析
1.D［解析］ 第一组的三幅图都有一个交点，第二组的三幅图都有两个交点。
2.B［解析］ 两组的每幅图都是三个“十”字交点。
二、线
核心阐述
“线”是指图形中常常包含有“线”的要素，蕴涵着线条数、线头数、笔画数的变化，其变化规律常常呈现为常数列和等差数列。
【试题精讲】
1.线条数：是指多边形、复杂图形的直线段、曲线段数。
例1. 2007-天津-80
A B C D
【解析】 本题中的两组图都可以分成内外两部分。第一组图内部线段数量分别为0，1，2，第二组图内部线段数量分别为1，2，3。因此应选择C。
例2. 2006-山东-42
根据图（1）和图（2）的逻辑关系，和图（3）相类似的图形是：
(1) (2) (3) (4) A B C D E
【解析】 图（1）和图（2）的共同点都是两条直线、两条曲线。图（3）延续了这一规律，因此应在图（4）中填入一个包括两条直线、两条曲线的图形，因此应选择B。
2.线头数：是指图形中线段的出头数。例3.2008-国考-64
A B C D
【解析】 对本题来说，容易发现五个图形的共同特征是图形都含有出头线段。五幅图形的线段出头数分别是3，5，1，2，0，发现将其按由小到大的顺序排列后是0，1，2，3，5，其中缺少一个4，因此应填入含有4条出头线段的图形，即选择C项。
例4.2005-广东下半年-75
A B C D
【解析】 观察第一组图形，发现三幅图的线段出头数都是6，观察第二组图形，发现前两幅图的线段出头数也都是6，因此应选择一个线段出头数是6的图形填入，故选择D项。
3.笔画数：是指汉字、英文字母、图形的笔画数。
例5.2005-国考二类-53
A B C D
【解析】 四个汉字的笔画数分别是2，3，4，5，因此应填入一个6画的，故选择A项。
例6.2005-广东下半年-69
A B C D
【解析】 第一组英文字母均包含3条线段，第二组前两个英文字母均包含4条线段，因此应填入一个包含4条线段的字母，故选择C项。
题型引申
汉字类题目的考点
在行政职业能力测验中经常出现汉字类题目，可以列举以下几种情况供大家辨析。
第一类，考查汉字笔画数。
★ 2009-天津-51
A B C D
【解析】 前四个图形的笔画数依次为1，2，3，4，第五个图形的笔画数应为5，据此选择D项。
第二类，考查汉字特征。汉字的结构均具有某项特征，例如均含有某个结构，或者均有什么结构上的特征。
★ 2008-安徽-51
A B C D
【解析】 第一组的三个字都含有“占”这一部分，第二组的三个字都含有“云”这一部分，据此选择D项。
第三类，考查汉字的封闭区域数。
★ 2009-辽宁-54
A B C D
【解析】 每个汉字都有三个封闭区域，据此选择A项。
例7.2005-江苏C类-42
A B C D
【解析】 观察第一组图形，均是由一笔画画成，图形中既有直线，又有曲线。第二组图形均是由两笔画画成，因此应当选择一个两笔画的图形，故选择C项。
4.一笔画问题。
涉及线数量问题的，常常存在一笔画问题。
一笔画问题又称七桥问题，是一个古老的数学问题。一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。
譬如上图中，四个顶点和中心的连接线条数分别是2和4，因此是偶点。其余四个点连接线条数为3，因此是奇点。该图含4个奇点，不能一笔画。
总结一笔画规则如下：
1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
3.其他情况的图都不能一笔画出。
例8.2009-天津-54
A B C D
【解析】 根据一笔画问题的特征，前八幅图都可一笔画成，只有C项可一笔画出，故应当选择C项。
张老师提示
如何识别“线数量问题”
线段数常见于一堆线段（包括直线段、曲线段）组成的图形中，线头数常见于有清晰线头出头的图形中，笔画数常见于汉字、英文字母中。
【试题演练】
1.2005-北京应届-29
A B C D
2.2005-浙江-58
A B C D
3.2007-国考-62
A B C D
4.2005-江苏A类-47
节 A B C D
5.2006-北京社招-27
A B C D
6.2009-北京社招-28
A B C D
7.2005-江苏C类-43
A B C D
试题解析
1.C［解析］ 本题属于线数量问题的线条数。第一组图的线段数都是5，且5条线段等长。第二组图的线段数都是6，且6条线段等长。
2.D［解析］ 本题属于线数量问题的线条数。第一组图都是由三条线构成；第二组图都是由两条线构成。
3.A［解析］ 本题属于线数量问题的线头数。按列扫描，三列的线头数分别是5，3，1；7，9，11；17，15，？。三列都是等差数列，故第三列问号处应填入的线头数是13。
4.D［解析］ 本题属于线数量问题的笔画数。五个字都是五画，故应选一个五画的字填入。
5.B［解析］ 本题属于线数量问题的笔画数，第一组字都是三画，第二组字都是五画。
6.C［解析］ 本题属于线数量问题的线条数，第一组是8，16，32，第二组是1，2，4。
7.B［解析］ 本题属于线数量问题的线条数，六幅图的线条数分别是10，8，6，4，2，0。
三、角
核心阐述
“角”是指图形中经常包含有“边”“角”的要素，蕴涵边角数的变化，其变化规律常常呈现为常数列和等差数列。
【试题精讲】
例1.2005-国考一类-54
A B C D
【解析】 观察本题可见四幅图都是由多边形和圆组成。由于边的定义是线段，而角的定义是两线段所夹部分，因此圆是0边0角。四幅图的边角数分别是3，4，5，6，因此应填入一个7边7角的图形，选择A项。
例2.2007-国考-63
A B C D
【解析】 观察本题可见前八幅图即含封闭图形，又含不封闭图形，因此不能使用角数，只能使用边数。对九格的边数进行统计，得到下表：
458
043
41？
行扫描很难发现规律，进行列扫描发现每列第一行元素等于后两行元素之和，即4=0+4，5=4+1；因此8=3+5，选择D项。
例3.2008-吉林甲级-58
请从下面的四个图形中选出与其他三个不同的一个图形。
A B C D
【解析】 观察本题可见四幅图均由两个图形组成，外侧图形的边数分别为3，4，6，5，内侧图形的边数分别为4，3，4，3。分析发现，B、C、D都是外侧图形的边数大于内侧图形的边数，只有A项是外侧图形的边数小于内侧图形的边数。只有A项与其他项不同，因此应选择A项。
例4.请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使右侧图形的变化规律与左侧图形的变化规律相似。
A B C D
【解析】 观察第一组图，分别由2，3，4个图组成，呈等差数列。观察第二组图，分别由3，4条边组成，按照等差数列的规则，第三幅图应含有5条边，选择D项。
题型引申
在国家公务员考试中，线数量仅仅包括线段，圆形及曲线其边数定义为0。而在地方公务员考试中，圆形及曲线的边数有时定义为1，有时定义为0，这特别值得注意。在面对具体题目时，应根据题目的题意进行分析。
★ 2008-辽宁-47
A B C D
【解析】 在本题的定义中，一条线段和一条曲线均计为一条边。第一行三幅图的线数量分别是1，2，3。按照这种定义，第二行三幅图的线数量分别是4，5，6。据此，第三行三幅图的线数量分别是7，8，9。因此应当选择B项。
★ 2009-上海-66
A B C D
【解析】 观察本题可见所有图形都是由多边形组成的。前三幅图的边数分别是9，7，5，按照等差数列的规律，第四幅图的边数应该为3。因此应当选择A项。值得注意的是，A项中的圆定义为1条曲线。
例5.2009-天津-53
A B C D
【解析】 前四幅图的每幅图中都有很复杂的角存在，其中凸角有9个，因此第五幅图应选择有9个凸角的图形，故选择D项。
例6.2010-国考-58
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
A B C D
【解析】 前五幅图的三角形数目分别是3，4，5，6，7，因此应选择一个三角形总数为8个的填入“？”处，故选择C项。
张老师提示
如何识别“角数量问题”
边角数常见于多边形及圆组成的图形中，一般特征是图形构成简洁，图形间无复杂交叉。对待边角数题目要注意计算清楚边数和角数，寻找其中的规律。
特别需要注意的是，当图形中出现扇形的时候，大多数属于角数问题，且扇形的角数为1。
【试题演练】
1.2005-江苏B类-88
A B C D
2.2005-江苏A类-36
A B C D
3.2009-浙江-57
A B C D
4.2008-北京应届-27
A B C D
5.2007-天津上半年-76
A B C D
6.2009-江苏A类-41
A B C D
7.2009-浙江-64
A B C D
试题解析
1.C［解析］ 本题属于角数量问题，前五幅图的角数分别是1，3，5，7，9，故下一幅的角数应为11。
2.A［解析］ 本题属于角数量问题，第一组都是八个角，第二组都是九个角。
3.D［解析］ 前四幅图的边数都是12，因此第五幅图的边数也应为12。
4.D［解析］ 第一组三幅图的边数分别为3，4，5（本题中圆的边数计为0），呈等差数列；第二组三幅图的边数分别为6，7，8，延续这一规律。
5.A［解析］ 第一组三幅图的边数分别为1，3，5，呈等差数列，第二组三幅图的边数分别为2，4，6，延续这一规律。
6.A［解析］ 每列前两幅图的边数相加等于第三幅图的线数量。
7.C［解析］ 每行前两幅图的边数之和等于第三幅的边数之和。
四、面
核心阐述
“面”是指图形中常常包含有“面”的要素，蕴涵着区域数的变化。区域数包括封闭区域数和连通区域数两类，其变化规律常常呈现出常数列和等差数列的特征。
【试题精讲】
例1.2009-国考-66
请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
A B C D
【解析】 观察前五幅图，一个共同的特点是都含有一个封闭区域。按照这一规律，应当选择A项。
试题链接
★ 2009-山东-36
请从所给的选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
A B C D
【解析】 观察前五幅图，每个图都只有一个封闭的区域，据此应选择D项。
例2. 2009-江苏A类-37
A B C D
【解析】 前五幅图的封闭区域数分别是8，7，6，5，4，应选择一幅封闭区域数有3个的，因此选择B项。
例3. 2007-山东-69
A B C D
【解析】 前八幅图形分别由1，2，3，4，5，6，7，8个封闭区域组成，根据这一规律，应填入一个由9个封闭区域组成的图形，因此应当选择A项。
例4．2008-北京应届-30
A B C D
【解析】 第一组三幅图的封闭区域数分别是0，1，2，第二组三幅图的封闭区域数也是0，1，2，两组才能实现最大的相似性，而且各组也均具备自己的特征，因此应选择B项。
例5.2009-广东-71
A B C D
【解析】 前四幅图中独立封闭的区域分别是1，2，3，4个部分，据此应选择一个独立封闭区域为5部分的，故选择B项。
题型引申
“面”在近年的考题中内涵不断丰富，既可以定义为内外图形相交得出的部分，也可以定义为面积。
★ 2009-北京社招-26
A B C D
【解析】 第一组三幅图的面积依次减半，据此可选择A项。
例6.2008-辽宁-46
A B C D
【解析】 第一行三幅图的连通区域数分别是1，2，3，第二行三幅图的连通区域数分别是1，2，3，第三行应延续这一规律，三幅图的连通区域数也应分别为1，2，3，因此选择C项。
例7.2008-辽宁-52
A B C D
【解析】 前五幅图的连通区域数分别是1，2，3，4，5，第六幅图应选择一个连通区域数为6的填入，据此可选择C项。
例8.2009-辽宁-53
A B C D
【解析】 每幅图都是由三个独立的部分组成，据此应选择B项。
张老师提示
如何识别“面数量问题”
区域数常见于看似复杂、纵横交错的图形中，其识别特征是看上去组成元素庞杂、不容易寻找规律，但实则区域区分明显、区域数容易观察。
【试题演练】
1.2006-江苏B类-88
A B C D
2.2008-江西-51、2008-辽宁-51
A B C D
3.2007-北京在职-28
A B C D
4.2009-浙江-56
A B C D
5.2006-江苏C类-33
A B C D
6.2009-江苏A类-36
A B C D
7.2009-江苏A类-40
A B C D
试题解析
1.A［解析］ 本题属于面数量问题，每幅图都由三个区域组成。
2.A［解析］ 本题属于面数量问题，前五幅图的区域数分别是4，5，6，7，8，第六幅的区域数应为9。
3.C［解析］ 本题属于面数量问题，第一组图的区域数分别是1，2，3，第二组图的区域数也应分别是1，2，3。但据此无法区分B、C。进一步考虑，第一组的正方形数分别是1，2，3，第二组的三角形数也应该分别是1，2，3。
4.B［解析］ 本题属于面数量问题，前四幅图的区域数分别是2，3，4，5，应选择一幅区域数为6的图形填入。
5.B［解析］ 观察第一组图形，每幅图都是由三个封闭区域组成，观察第二组图形，前两幅图都是由四个封闭区域组成，应选择一幅也是由四个区域组成的图形填入。
6.B［解析］ 每幅图都由一个独立封闭的部分组成。
7.D［解析］ 每幅图都由三个独立连通的区域组成。
五、素
核心阐述
“素”是指图形中常常包含有“素”的要素，蕴涵着元素种类、数目的变化，既包括图形整体的变化，又包括各组成部分的变化。
【试题精讲】
例1．2009-国考-68
请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
A B C D
【解析】 观察前五幅图，元素的种类分别是1类、2类、1类、2类、1类，呈现出较强的奇偶性，因此第六幅图填入的应包括2类元素，故选择A项。
例2.2005-国考二类-52
A B C D
【解析】 观察前四幅图，元素的数目分别是4，2，4，4，没有规律，四幅图也都包含有圆这个元素，但圆的个数为4，1，2，1，也没有规律。进一步观察四幅图中元素的种类，发现元素种类数分别是1，2，3，4，因此第五幅图应有5种元素，故选择A项。
题型引申
在近年的考试中，常常出现一类题目，即图形中的两类元素发生数量上的一些规律性变化。
★ 2009-河北-67
A B C D
【解析】 第一组每幅图中白色小圈的数量递减，黑色小圈的数量递增，第二组也延续着这一规律，据此选择B项。
例3.2005-国考二类-54
A B C D
【解析】 前四幅图的共同点是，每幅图都是由若干个同种元素组成的，根据元素组成的同一性应当选择A项。
题型引申
在近年的公务员考试中，常常出现两种元素在图形中存在等价关系的一类题目，这类题目被形象地称为“一个顶俩”。
例4.2009-国考-67
请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
A B C D
【解析】 本题中，圆圈和五角星存在着等价关系，1个五角星等价于3个圆圈。按照这种等价关系，将所有五角星换成圆圈，前五幅图中圆圈的数量分别是4，5，6，7，8，因此应选择圆圈数为9的图形，故应选择D项。
试题链接
★ 2009-江苏A类-39
A B C D
【解析】 1个星星相当于2个月亮，前五幅图的月亮数分别是9，8，7，6，5，因此应选择月亮数为4的图形，故应选择D项。
蔡老师提示
如何应对“素数量问题”
素数量问题的识别相对简单，其一般特征是每个图形皆由多个单独的小元素组成。
元素数量和元素种类常见于由多种元素组成的图形中，对待此类题目，要先看元素整体的种类和数目变化有无规律，规律不明显时，再看各类元素的数目变化有无规律。
【试题演练】
1.2005-江苏B类-90
A B C D
2.2005-江苏C类-47
A B C D
3.2009-浙江-61
A B C D
试题解析
1.A［解析］ 本题属于素数量问题的元素种类变化。前四幅图的元素种类分别是1，2，3，4，5，应填入一个含有6种元素的图。
2.C［解析］ 本题属于素数量问题的元素同一性。前五幅图都由若干相同元素组成，因此应填入一个由若干相同元素组成的图。
3.B［解析］ 本题属于“一个顶俩”类，1个圆圈相当于5个三角形，1个方块相当于4个三角形，每个图都等价于22个三角形，因此选择B项。
数量型解题要点总结
点 线 角 面 素
第一步：首先从整体数考虑，识别“点线角面素”，确定数量规律；
第二步：如果整体不行的话，可以从部分（分位置或分样式）的角度确定数量，得出规律。
