第五节分数数列
　　一、核心提示与解题技巧
　　分数数列是指以分数为主体，但规律却以分数的分子、分母为主体的数列形式。数列中出现分数并不意味着一定是分数数列。有少量分数(式)的数列，通常还可能是负幂次数列、多级做商数列、递推积商数列、递推倍数数列等。反之，分数数列中也可能会出现一些整数。
　　解答分数数列常会用到以下技巧：
　　观察特征：第一步可先观察分数数列是否具备一定的明显的外在特征。
　　分组看待：以分数线为分组标志，分别观察分子数列、分母数列的规律得到结果。
　　约分：将非最简分数化成最简分数。
　　广义通分：将分母(或分子)化成相同的数。
　　有 理 化：当分数的分子(分母)中含有根式时，对其进行分子(分母)有理化。
　　反 约 分：将分子或分母扩大适当的倍数，以使数列呈现较为明显的规律。
　　整 化 分：将数列中的整数化成分母为“1”或其他数值的分数的形式。
　　二、典型真题精讲
　　【例1】 1，56，34，710，23，914，()。
　　A. 35 B. 58  C. 813D. 1323
　　【解析】 本题正确答案为B。此数列是分数数列，反约分得到：44，56，68，710，812，914，分子数列为：4，5，6，7，8，9，下一项应为１０。分母数列为：4,6,8,10,12,14，下一项应为１６。所求数字为1016＝58。B项正确。
　　【例2】 1，()，17，113，121。
　　A. 0B. 1C. 12D. 13
　　【解析】 本题正确答案为D。原数列可写为“11，()，17，113,121”，则知每个分数的分子都为1，设()=1x，则分母可构成数列“1，x，7,13,21”，该数列为二级等差数列，即：1,1+2,3+4,7+6,13+8，故x为3，()=13，选D。
　　【例3】 5，3，73，2，95，53，()。
　　A. 138B. 117C. 75D. 1
　　【解析】 本题正确答案为B。将原数列化为51，62，73，84，95，106之后，可以看出分子和分母都是自然数列，故下一项为117，选B。
　　【名师点评】 本题为分数数列，通过反约分后，分子分母均呈现出明显的规律，难点在于恰当的反约分。
　　【例4】 628，2198，1884，942，()。
　　A. 1256B. 1244C. 2560D. 2578
　　【解析】 本题正确答案为A。分数数列。将这个数列的各个分数都化简，即可发现答案。
　　628＝314，2198＝314，1884＝314，942＝314，A项化简也为314，故应选A。
　　【例5】 14，25，57，1，1714，()。
　　A. 2517B. 2617C. 2519D. 2619
　　【解析】 本题正确答案为D。本题是分数数列。原数列可以化为14、25、57、1010、1714，各分数的分子两两做差得1、3、5、7，各分数的分母两两做差得1、2、3、4，即做差后的分子分母分别为等差数列。故空缺项的分数分母为5+14=19，分子为9+17=26。
　　【例6】 0，73，225，457，769，()。
　　A. 12B. 13C. 10311D. 11511
　　【解析】 本题正确答案为D。分组观察：分母是等差数列，分子是二级等差数列。
　　【例7】 1，12，611，1729，2338，()。
　　A.  122199B.  117191C.  3147D.  2845
　　【解析】 本题正确答案为A。可将原数列变为11,24,611,1729,4676，则分子=前一项分子+前一项分母，分母=分子+前一项分母+1，故()的分子为46+76=122，分母为122+76+1=199，选A。
　　【例8】 2，1，1，12，14，()。
　　A.  16B.  18C.  116D.  120
　　【解析】 本题正确答案为C。数列从第三项开始，每一项等于前两项积的12。空缺项＝12×14×12＝116。
　　【例9】 23，14，215，112，235，()。
　　A. 132B. 332C. 124D. 526
　　【解析】 本题正确答案为C。分子通分：23，28，215，224，235，(248)=124。分母为二级等差数列。
　　【名师点评】 当分数的分子很容易化为同一个数时，将分子通分。
　　【例10】 12，1，78，58，1332，()。
　　A. 14B. 1564C. 1164D. 764
　　【解析】 本题正确答案为A。
　　反 约 分：12，44，78，1016，1332，()，故()＝1664＝14。
　　【名师点评】 “反约分”是指同时扩大数列当中某些分数的分子与分母(分数大小不变)，从而使得分数的分子数列与分母数列形成简单数列。“反约分”数列是分数数列中最具技巧的一类，也是现在分数数列命题的一个方向。
　　【例11】 25，37，410，614，820，1228，()。
　　A. 22456B. 1432C. 2048D. 1640
　　【解析】 本题正确答案为D。奇数项：分子，2，4，8，(16)，等比数列；
　　分母，5，10，20，(40)，等比数列。
　　偶数项：分子，3，6，12，等比数列；
　　分母，7，14，28，等比数列。
　　【例12】 0，16，38，12，12，()。
　　A. 513B. 713C. 512D. 712
　　【解析】 本题正确答案为C。反约分得：05，16，38，612，1020，分子：0，1，3，6，10为二级等差数列，所求数分子为15；分母：5，6，8，12，20为差后等比数列，所求数分母为36，故空缺项应为1536＝512。