第三节递推数列
　　一、核心提示与解题技巧
　　所谓递推数列，是指数列中从某一项开始的每一项都是它前面的项经过一定的运算法则得到的数列。这里的运算法则包括加、减、乘、除、倍、方六种。递推数列的核心技巧——“看趋势、做试探”。
　　看趋势：根据数列当中数字的变化趋势初步判断此递推数列的具体形式。注意要从大的数字开始，并且结合选项来看。
　　做试探：根据初步判断的趋势作合理的试探，得出相关修正项。
　　修正项：要么是一个非常简单的基本数列，要么就是一个与数列当中其他数相关的数列。
　　二、典型真题精讲
　　【例1】 3，2，4，5，16，()。
　　A. 45 B. 15C. 65  D. 75
　　【解析】 本题正确答案为D。此数列是递推数列。递推公式为An+2=An×An+1－(n+1)，其中n≥1，即3×2－2=4，2×4－3=5，4×5－4=16，因此所求数字为5×16－5=75。D项正确。
　　【例2】 1，6，20，56，144，()。
　　A. 384B. 352C. 312D. 256
　　【解析】 本题正确答案为B。研究“6，20，56”的数字递推联系，易知“(20-6)×4=56”，验算可知全部成立，即规律为(An+1-An)×4=An+2。
　　【名师点评】 运用提取因数法求解本题：
　　原数列：1，6，20，56，144，(352)。
　　提取子数列：1，3，5，7，9，(11)。等差数列
　　剩余子数列：1，2，4，8，16，(32)。等比数列
　　【例3】 1，2，3，6，12，24，()。
　　A. 48B. 45C. 36D. 32
　　【解析】 本题正确答案为A。考查递推数列。数列中前面所有项的和等于下一项。1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋6＝12，1＋2＋3＋6＋12＝24，()＝1＋2＋3＋6＋12＋24＝48。所以选A。
　　【例4】 2，3，7，16，65，321，()。
　　A. 4542B. 4544C. 4546D. 4548
　　【解析】 本题正确答案为C。7=2×2+3，16=3×3+7，65=7×7+16，321=16×16+65，()=65×65+321=4546，本题选C。
　　【例5】 2，3，7，25，121，()。
　　A. 545B. 619C. 721D. 825
　　【解析】 本题正确答案为C。该数列是递推数列。其中3=2×2-1，7=3×3-2，25=7×4-3，121=25×5-4，那么该数列的通项公式是：An=n×An-1-(n-1)，n≥2且n∈N+，故空缺项为6×121-5=721。本题选C。
　　【例6】 5，7，17，31，65，()。
　　A.107B. 115C. 120D. 127
　　【解析】 本题正确答案为D。数列递增，增长较快，研究“5、7、17”三数字递推联系，易知“5×2+7=17”，验算可知全部成立。即规律为：An×2+An+1=An+2。
　　【名师点评】 本题还有三种解法：①两倍递推，修正项是-3、+3交替；②相邻两项两两相加，得到一个等比数列；③原数列分别-1、+1、-1、+1、-1、+1，得到一个等比数列。这四种方法的数学本质是完全一样的，所以应试者注意加强自己对数字的敏感度。
　　【例7】 157，65，27，11，5，()。
　　A. 4B. 3C. 2D. 1
　　【解析】 本题正确答案为D。此题为一个递推数列，其通项公式可化为：An-2×An+1=An+2
　　即：157－2×65＝27；65－2×27＝11；27－2×11＝5；11－2×5＝1。
　　【例8】 -3，3，0，()，3，6。
　　A. 3B. 4C. 5D. 6
　　【解析】 本题正确答案为A。本题为递推和数列，-3+3＝0，3+0＝(3)，0+(3)＝3，(3)+3＝6。