余数问题不再是公务员考试行测困扰题

　　余数问题是公务员考试行测数量关系中的困扰题，华图陶老师通过7道典型例题剖析了如何让余数问题不再是困扰公务员考试行测数量关系中的困扰题。

　　一、余数关系式和恒等式的应用

　　余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数）

　　余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数

　　余数的关系式和恒等式比较简单，但余数范围（0≤余数＜除数）是部分题型的解题突破口，需要引起足够的重视。关于余数范围的应用见下文例题：

　　【例1】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少？（    ）

　　A.12                   B.41                    C.67                    D.71

　　【解析】余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，选D。

　　【例2】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？

　　A. 216            B. 108            C. 314            D. 348

　　【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。

　　二、同余问题

　　同余问题在公务员考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。 如：

　　【例3】一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1，请问这个数如何表示？

　　【解析】设这个数为A，则A除以4余1，除以5余1，除以6余1，那么A－1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60，所以A－1就可以表示为60n，因此，A=60n+1。

　　结论：如果一个被除数的除数不同，余数相同，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数共同的余数。

　　【例4】一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，请问这个数如何表示？

　　【解析】设这个数为A，如果A除以4余3，除以5余2，除以6余1，那么会有A=4n₁+3，A=5n₂+2，A=6n₃+1。其中，A=4n₁+3=4(n₁－1)+4+3=4(n₁－1)+7，同理，A=5(n₂－1)+7，A= 6(n₃－1)+7，根据【例3】的结论，A= 60n+7。

　　结论：如果一个被除数的除数不同，除数与余数的和相等，那么这个数的通项公式可以表示为几个除数的公倍数加上除数与余数的和。