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公务员模拟题某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设

2021-07-23 09:01:04 公务员考试网文章来源：华图教育

【导读】本题由公务员考试网提供试题资料，试题内容来源2021年0327河北公务员考试《行测》真题（网友回忆）中的行测试卷中的第三部分数量关系，以下为试题详细信息及解析，需要试题资料的小伙伴可以添加华图教育官方公众号huatuv获取试题资料。

【试题】某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相切，问沿三个圆环外围石道（不含圆切点之间的弧）散步一圈约为多少米？

A.95

B.105

C.115

D.125

【解析】解法一：第一步，本题考查几何计算。
第二步，如下图。

连接三个内切圆的圆心，可知为等边三角形，三个圆之间的弧心角都为60°，可知三个圆之间的弧长各自占三个小圆周长的 $\frac {1} {6}$ ，剩余部分占三个小圆周长的 $\frac {5} {6}$ ，根据圆周长公式2πr，则三个圆外弧长石道为2πr× $\frac {5} {6}$ ×3=5πr，求出小圆半径即可。
第三步，如下图所示。

做出等边三角形的三条角平分线，交于一点O。根据等边三角形的性质可知∠EOP=60°；小圆圆心P引垂线交BD于E，由于相切可知三角形EOP是直角三角形，则小圆半径EP=r= $\sqrt {3}$ OE。又因BE=BF=25= $\frac {\sqrt {3}} {2}$ BO，可知BO= $\frac {50} {\sqrt {3}}$ ，则OE=BO-BE= $\frac {50} {\sqrt {3}}$ －25，可知r=50－25 $\sqrt {3}$ ≈25×（2－1.732）=6.7。则三个圆外弧长石道为5πr≈105.19。
因此，选择B选项。
解法二：第一步，本题考查几何计算。
第二步，连接三个内切圆的圆心，可知为等边三角形，三个圆之间的弧心角都为60°，可知三个圆之间的弧长各自占三个小圆周长的 $\frac {1} {6}$ ，剩余部分占三个小圆周长的 $\frac {5} {6}$ ，则三个圆外弧长石道为2πr× $\frac {5} {6}$ ×3=5πr，求出小圆半径即可。
第三步，如图所示。

做辅助线BE垂直AC，则∠EBC=30°，小圆圆心O引垂线交BC于P,连接OB，则平分∠EBC，可得，∠OBC=15°，根据tan15°= $\frac {OP} {BP}$ ≈0.268，BP=25，可得OP=6.7，则三个圆外弧长石道为5πr≈5×3.14×6.7=105.19。
因此，选择B选项。
小贴士：如何求解tan15°。tan（α－β）= $\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\times\tan\beta}$ ，则tan15°=tan（60°－45°）= $\frac {\tan {6}{0}^{\circ }-\tan {4}{5}^{\circ }} {1+\tan {6}{0}^{\circ }\times \tan {4}{5}^{\circ }}$ ，tan60°= $\sqrt{3}$ ，tan45°=1，可得tan15°= $\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\times1}=2-\sqrt{3}$ ≈2－1.732=0.268。