每日一题之数量（2022年11月16日）

(单选题)书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少?

A.65%

B.70%

C.75%

D.80%

解析

解法一：

第一步，本题考查最值问题，属于反向构造。

第二步，赋值观众100人，那么5幅作品得票数分别是69、63、44、58、56，共290票。想要投票有效率最高，即有效投票人数最高，反向构造无效投票人数最少。根据“不超过”，令所有有效投票观众都投2幅作品，无效人数都投5幅作品时，多余票数290-100×2=90所对应的人数最少。因此无效人数为(人)，投票有效人数为100-30=70(人)，有效率是70%。

因此，选择B选项。

解法二：

第一步，本题考查最值问题，属于反向构造。

第二步，赋值观众100人，那么5幅作品得票数分别是69、63、44、58、56，共290票。想要投票有效率最高，即有效投票人数最高，反向构造无效投票人数最少。根据“不超过”，令所有有效投票观众都投2幅作品，无效人数都投5幅作品时，有效票率最高，设有效票观众人数为x，则无效票观众人数为(100-x)人，可列方程2x+5(100-x)=290，解得x=70，即有效票率为70÷100=70%。

因此，选择B选项。

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