2022省考之常用勾股数在数量解题中的应用

直角三角形的三边长度符合勾股定理：，符合该定理的常用勾股数如下表所示。

其中，应用最多的是3、4、5这一组及与其成比例关系的勾股数，例如6、8、10;12、16、20等。记住这些常用勾股数，一方面，几何计算问题中涉及直角三角形边长计算时，大多情况下可以省去求平方开方的复杂计算，事半功倍;另一方面，在一些问题中，若能联系常用勾股数，可快速求解。下面，我们结合几道真题来应用一下。

【例1】一个半圆形拱门的宽和高分别为8米和4米，一辆货车拉着宽4.8米、每层高20厘米的泡沫板通过该拱门。如果车斗底部与地面的垂直距离为1.1米，问要通过拱门，每次最多可以装载几层泡沫板?

A.9B.10

C.11D.12

【答案】B

【解析】第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。

第二步，如图所示，在直角三角形OBC中，OC=OA=4米，，根据勾股定理，BC=，车斗底部与地面的垂直距离为1.1米，泡沫板每层高20厘米，<11，即每次最多可以装载10层泡沫板。

因此，选择B选项。

【说明】已知OC=4，OB=2.4，对应常用勾股数3、4、5，斜边长度4=5×0.8，直角边2.4=3×0.8，故另一条直角边BC=4×0.8=3.2。可避免平方再开方的复杂计算。

除了在直角三角形计算中联系勾股数可快速求解，常用勾股数还可用于符合形式的基本计算中。

【例2】把一个正方形的四个角分别切除一个等腰三角形，剩下一个长宽不等的矩形。若被切除部分的总面积为400平方厘米，且切除的三角形的直角边的长度均为整数，则所剩矩形的面积为多少平方厘米?

A.320B.336

C.360D.384

E.400F.420

G.441H.464

【答案】D

【解析】第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。

第二步，设两组等腰三角形的腰长分别为x、y，则切除部分面积为，化简得，解得x=12，y=16。

第三步，故S矩形=S正方形-S切除部分=。

因此，选择D选项。

【说明】本题若直接根据计算x、y的取值则过于复杂，而此式符合勾股定理的形式，可优先考虑联系常用勾股数求解。

【例3】边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于5000，其中有两个正方形的面积之和等于第3个正方形的面积，这样的正方形存在多少组?

A.6B.7

C.9D.10

【答案】D

【解析】第一步，本题考查几何问题。

第二步，设三个正方形边长分别为a-n、a、a+n(a、n都是正整数)，那么由题意有：(a-n)²+a²=(a+n)²，化简为a²=4an，由于a为正整数可知a=4n。可知三个正方形边长分别为3n、4n、5n，面积之和为(3n)²+(4n)²+(5n)²=50n²≤5000，n²≤100，n可以取1到10，共10组解。

因此，选择D选项。

【说明】若三个正方形边长分别记为a,b,c，根据题意其面积符合，则取值优先考虑常用勾股数，又根据“边长为整数且成等差数列”，仅勾股数3、4、5及与其成比例关系的数字符合。面积之和不大于5000，则。c的取值为5的倍数且小于等于50，共50÷5=10个，故符合条件的共10组。

以上就是常用勾股数在数量关系中的应用，小伙伴们记住其应用情况，在后续解题中可以更快速的得出结果。

【小结】

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