2022年省考行测数量单类解题之《容斥最值问题》

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所谓容斥最值，即容斥问题中涉及最大、最小、至多、至少等形式的设问方式，这一类题目也是最值问题的一种，我们通常称之为容斥最值。

那么遇到这类容斥最值的问题时，我们有没有快速的解题方法呢，今天老师带大家一起总结一下此类问题通常的解题方法，希望能对各位小伙伴有所帮助。

一、容斥中求最大值

在两集合的容斥题目中，很少会出现单纯让求最大值的情况，往往会作为其中一个条件求解，我们先来看一看容斥中求最大值的情况。

引例1.某班级一共有50名学生，一次测验中，数学及格的学生是38人，语文及格的学生是40人，那么该班语文和数学都及格的学生最多有多少人?

这道题目不难理解，要想让两门课成绩都及格的人数最多，那么尽可能让这两个集合重合，得到的结果应该是较小的那个集合的人数，也就是两门课都及格的人数最多是38人。用集合图示来表示：

二、容斥中求最小值

容斥问题中求最小值是我们考试中经常遇到的情形，需要大家重点掌握。我们先来看一道简单的例子。

引例2.某班级一共有50名学生，一次测验中，数学及格的学生是38人，语文及格的学生是40人，那么该班语文和数学都及格的学生最少有多少人?

我们可以通俗的想，要让两门课都及格的人数最少，就需要让两个集合交集最小，也就是让两个集合尽量分离开。为了能更加形象地表示两个集合分离的情形，我们用矩形来表示集合大小。

通过图示可以看出当两个集合尽可能分离的时候会出现交集的最小值。我们假设交集最小值为X，那么总数=语文+数学-X，得到X=语文+数学-总数。我们就得到了两集合容斥最小值公式为两个子集和相加减去一倍的全集。

例1.某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球?()

A.30%B.45%

C.60%D.70%

C【解析】本题属于两集合容斥最值问题。

根据之前我们推出的结论，两集合的交集最小值等于两个子集和之和减去一倍的全集，那么假设全班一共100人，喜欢羽毛球的70人，喜欢乒乓球的75人，那么两种球都喜欢的最少是70+75-100=45人。45÷75=60%。因此选择C选项。

三、推广应用

前面讨论的是两个集合的情况，那么当遇到三集合甚至四集合的情况时能不能求解呢。当然也可以，如果让我们求解多集合交集的最大值，依然是找这几个子集和中最小的那一个。如果是求三集合交集的最小值，我们可以用三个子集和加和减去两倍的全集。用公式表示为：ABC(min)=A+B+C-2总数;

如果是四个集合求交集的最小值，则可以表示为：

ABCD(min)=A+B+C+D-3总数。

例2.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少?()

A.40%B.30%

C.20%D.10%

C【解析】本题属于四集合容斥最值问题。

根据前面推出的结论，ABCD(min)=A+B+C+D-3总数。假设学生总数为100人，在四次考试中都是90分以上的学生至少为：70+75+85+90-300=20，20÷100=20%。因此，本题选项为C。

通过上面的详细讲解希望能对大家复习容斥最值问题有所帮助，2022年省考的脚步慢慢逼近了，衷心的祝愿各位在公考路上的小伙伴能够脚踏实地复习备考，顺利通过笔试进入面试，最终实现自己的梦想。

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