行测备考干货之环形多次追及的趣味拓展

从近年来北京市公务员考试笔试真题中，我们可以发现行程问题的考察难度更为复杂、考察内容也更加广泛。从2015年的直线追及，到2016和2017年两年考察的比例行程类问题，紧接着2018年考察了直线多次相遇，2019年考察了直线追及问题，2020年在区级以上分卷的情况下考察了流水行船问题和加速度问题，2021年考察两个普通行程问题，但是其中行程之间关系和数字运算也都相当复杂。所以，一直以来京考行程问题的难度上都非常复杂，在刚进行不久的2022年北京市公务员考试中，行程问题又出现多次，有普通的公式考察，有环形多次追及，有直线多次相遇等。今天就环形多次追及和大家一起探讨，尤其2022年的题，存在一些巧解方法，需要大家更为深刻的理解环形多次追及。

关于环形多次追及，首先大家要了解一下模型和固定结论：

由上图可知，我(红色)和你(蓝色)一起同点出发绕着环形跑圈，若你跑的快，你一开始就跑出去了，若你追上我，那么得多比我跑一圈。

所以我们有以下结论：

1，追上一次，则得多跑一圈

2，多跑一圈对应了追上一次

3，追上只有又到了同点，那么追上N次多跑N圈

4，多跑N圈追上N次。

所以根据以上结论，例1是非常常规的题目了。

【例1】环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。已知三人速度分别为1米/秒，3米/秒和6米/秒。问小王第3次超越老张时，小刘已超越小王多少次?()

A.3次B.4次

C.5次D.6次

解析：小王第三次超越老张之时，问小刘超越小王多少次。那么小王第三次超越老张就是比老张多跑三圈的。有3x-x=400×3，x=600秒，所以600秒时，小刘跑3600，小王跑1800，多了1800，则有1800/4=4.5圈，所以追上了4圈半，没到5圈，则选择B选项。

大家请注意这半圈，在我们后续的题中也有一定应用。

【例2】(2017年广东)老林和小陈绕着周长为720米的小花园匀速散步，小陈比老林速度快。若两人同时从某一起点同向出发，则每隔18分钟相遇一次;若两人同时从某一起点相反方向出发，则每隔6分钟相遇一次。由此可知，小陈绕小花园散步一圈需要多少分钟?()

A.6B.9

C.15D.18

解析：常规方法：分别设老林和小陈速度分别为x和y。若两人同时从某一起点相反方向出发，则每隔6分钟相遇一次，可得(x+y)×6=720;若两人同时从某一起点同向出发，则每隔18分钟相遇一次，可得(y-x)×18=720，解得小陈速度为80，所以需要9分钟，则选择B选项。

巧解：利用半圈的思维。两人同时从某一起点相反方向出发，则每隔6分钟相遇一次。可得小陈在整个相遇过程中跑了大半圈。则小陈6分钟跑了大半圈，即未跑全整圈，A选项排除。小林6分钟跑了大半圈，12分钟肯定比整圈跑的多，则小陈跑一圈要12分钟以内，则选择B选项。

【例3】(2022年北京)甲和乙同时出发，在长360米的环形道路上沿同一方向各自匀速散步。甲出发2圈后第一次追上乙，又走了4圈半第二次追上乙。则甲出发后走了多少米第一次到达乙的出发点?

A.160B.200

C.240D.280

解析：

常规方法1：第一步，本题考查行程问题当中相遇追及问题。第二步，本次行程中两人同时出发至追上，则两人散步的时间相同。第二次追及中甲走4圈半，则乙走3圈半。两人路程之比为9:7，则速度之比也为9:7。第一次追及中甲乙的速度之比、路程之比均为9:7，则甲走2圈720米，则乙走560米，两人相差160。第三步，因此，选择A选项。

常规方法2：第一步，本题考查行程问题当中相遇追及问题。第二步，设甲和乙的速度分别为v1、v2，甲乙出发时相距为s1。带入追及问题公式，第一次甲追上乙(v1-v2)t=s1;第二次甲追上乙(v1-v2)t2=s2=360。两次追及过程中均匀速，甲分别散步2圈和4圈半，t1:t2=4:9，则S1:S2=4:9，所以s1=160。第三步，因此，选择A选项。

当然，如果大家能理解老师第一题给大家带来的铺垫，半圈的思维，这个题也是非常好解决的。

巧解：第二次追及过程是个全过程，4.5圈才完全追上，那么甲如果在圈的正对面，2.25圈正好追上。所以第一次追及是2圈追上的，表明相对位置在半圈以内，则一圈360，相距小于180。故本题选A选项。

根据上述三个题，大家应该对环形题目有个基本理解了。行程问题在小学数学、初中物理中都是重点考察内容，如果学生基础较差，希望还是能建立行程思维，从基础题基础方法掌握起，那么更高阶的思维模式和方法就能在基础夯实之后进行强化提升，考试中就能取得先机。

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