最多（少）的最少（多）的有多少——数列构造问题

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针对这些有固定套路的题，我们只需要掌握好对应的方法，遇到对应的题目，直接套用就可以了，例如：容斥问题、工程问题，最不利构造问题以及数列构造问题。下面就介绍一下关于数列构造问题的固定解题方法。

一、题型特点：题干是要求将人数或物品按照一定原则进行分组或分配，问题中出现“最多(少)……至少(多)”、“排名第……最多(少)……”等描述。

二、解题方法：排序-定位-构造-求和

排序：将所描述的主体按照顺序排列，确定最大值与最小值的位置。

定位：明确所求的位置，设未知数。

构造：按照题干已知条件对于各组人数或物品数进行构造。

求和：依据各组数量之和=总数，列式求解。

方法运用：

【示例】五位学生参加某次考试后平均分为90分，每个人的分都为整数且均不相同，问得分最低的学生最多得多少分?

排序：将五位同学按照分数从高到低排序。

定位：题目问的是的分最低的，设第五名得分为x。

构造：要使第五名得分最多，总分数为90×5=450是固定值，则其他人需要尽可能的少，第四名最少为x+1，第三名x+2，以此类推。

求和：总分数为450，则x+4+x+3+x+2+x+1+x=450，解得x=88，即得分最低的学生最多得88分。

三、真题感知

【例】某街道服务中心的80名职工通过相互投票选出6名年度优秀职工，每人都只投一票，最终A、B、C、D、E、F这6人当选。已知A票数最多，共获得20张选票;B、C两人的票数相同，并列第2;D、E两人票数也相同，并列第3;F获得10张选票，排在第4。那么B、C获得的选票最多为()张。

A.11B.12

C.13D.14

【答案】D

【解析】第一步，本题考查最值问题中的数列构造问题。

第二步，根据前述的解题方法，排序-定位-构造-求和，依题意先排序、定位列出表格如下：

要使B、C选票最多其他人需要尽可能的少，又D、E票数相同且要比F多，故，D、E最少取11。

第三步，总票数为80票，求和，20+x+x+11+11+10=80，解得x=14，即D、F最多得14票。

因此，选择D选项。

通过前述的示例和真题，相信大家应该掌握了解决数列构造问题的方法。方法的难点在于构造的过程，要仔细的分析清楚题干的要求，若求最多，其他的量就尽可能的少;求最少，其他量就需要尽可能的多。这类题需要充分结合题干的要求及条件，通过排序-定位-构造-求和这种方法求出对应的答案。

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