“容斥问题+最值”的快速求解

在近年来的公职考试中，容斥问题的考查频次越来越高，并且对于容斥问题的考查已经不仅仅是对于公式的考查，现在还会与最值问题进行结合。那么关于容斥与最值结合的题目，我们也给大家总结了一些技巧和方法，大家可以直接套用这个方式去进行解题。

一、题型特征：题干主体为容斥问题，问题中出现“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼。

例如：某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是()人。

二、解题思路：将所求量设为未知数，根据题目要求结合容斥问题的公式进行列式，分析未知数的大小极值关系，得到结果。

三、例题详解：

【2019辽宁】某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有()人。

A.27B.30

C.33D.36

【答案】C

【思路解析】设该班共有x人，唱歌和乐器演奏都不会的有y人，则两种都会的有5y人，根据二集合容斥公式可得：x-y=22+15-5y，化简得：x=37-4y。要使x最大，则y应最小，当y=1时，x=33，故这个班至多有33人。因此，选择C选项。

【2019甘肃】某单位工会会员60人，现在组织会员报名参加兴趣活动小组，其中报名徒步组的有40人，羽毛球组的有38人，乒乓球组的有31人，这三项活动都报名的有18人，问这个单位工会会员中最多有多少人三个小组都没有报名?

A.14B.15

C.16D.18

【答案】A

【思路解析】设报名两项的人数为x，三项都未报名参赛的人数为y，根据三集合非标准型公式可得：40+38+31-x-2×18=60-y，化简得y=x-13。要让三项都未报名的y最多，则让x尽量多。考虑让报名两项的人数x尽量多，则除了报名三项之外的人，剩余尽量报名两项，此时x最多为(40+38+31-3×18)÷2=27.5(人)，向下取整为27人，即x最多为27，故y最多为x-13=27-13=14(人)。因此，选择A选项。

【2019青海】一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：

求：这个班最多有多少人?

A.45B.51

C.53D.55

【答案】B

【思路解析】设班级总数为x人，其中三门都90分以上的为y人，根据三集合容斥标准公式有x-5=23+21+20-8-6-10+y，化简为x=45+y。其中y最多只能有6人，那么x此时最大为45+6=51(人)。因此，选择B选项。

对于这种类型的题目，重点就是最后分析所求量的大小关系，那么大家在进行分析的时候，要注意好题目的限定条件，对应确定其中的范围，最后计算求解。相信大家用好这个方法，对于容斥问题+最值问题的计算应该会非常快速。

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