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隔板法的基础与进阶应用

2021-11-26 14:48:25 公务员考试网 华图教育微信公众号 华图在线app下载 文章来源:陕西分院

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同学们在学习排列组合问题时,应该接触到了其中的一类题目:将相同的m个元素,分成n份,每份至少一个,共有多少种分法。我们把解决此类问题的方法叫做隔板法。

在操作过程我们在m个元素间,即m-1个空中插入n-1个板子,将其分成了n份,于是我们得出公式

这个公式称为隔板法的基础模型公式。从题型上来看,必须满足:

1.n个元素必须相同,2.每个组至少分到一个元素。

应用如下:

【例1】把7支相同的笔分给参加会议的4名教师,每人至少1支,至多3支,共有多少种分法?

A.32

B.20

C.16

D.10

【解析】第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用隔板法解题。

第二步,7支笔,每人至少1支,有(种)分法,根据每人至多3支,可知按4、1、1、1分配,有4种分法不符合题意,故共有20-4=16(种)分法。

因此,选择C选项。

以上是以“每人分到元素至少一个”的基础模型,在此基础上,当“每人分到元素至少大于1个时”又该怎么办呢。

【例2】把20支相同的笔分给参加会议的4名教师,每人至少3支,共有多少种分法?

A.165

B.170

C.180

D.190

【解析】第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用隔板法解题。

第二步,先给每个老师每人分2只笔,此时题目转换为还剩下12支笔,分给4个老师每人至少一支笔。符合隔板法基础模型。共有种分法。因此选择A选项。

所以当每人分到的元素个数k大于1时先给每人分k-1个,将题目转换为基础模型再套用基础公式即可。

那么当“每人分得元素可以为0个”时呢。

【例3】把7支相同的笔分给参加会议的4名教师,允许有人分不到,共有多少种分法?

A.90

B.100

C.110

D.120

【解析】第一步,本题考查排列组合问题,属于方法技巧类,用隔板法解题。

第二步,先借来4支笔,每个老师每人分一支,此时题目转换为11支相同的笔,分给4个老师,每人至少分一个的基础模型题目,符合隔板法基础模型。共有种分法。

因此选择D选项。

综上所述,我们所需要重点掌握的是隔板法的基础模型,即将相同的m个元素,分成n份,每份至少一个。以及它的核心公式。

无论当每人分得的元素大于1时,还是可以等于0时,核心思路都是将题目转换为基础模型并套用公式加以计算。希望大家以后在遇到此类问题时,能够第一时间做到题目辨析,抓住分数。

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