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行测备考干货之几何问题中相似比的运用

2021-06-07 16:40:12 公务员考试网 华图教育微信公众号 华图在线APP下载 文章来源:云南分院

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对于几何问题,我们历年的国考和省考中都会考到,其中有部分题目会涉及到相似比的运用。

从数学上来说,相似指两个图形的形状完全相同,其中一个图形能通过放大缩小、平移或旋转等方式变成另一个。此处所说的相似,不仅仅只是三角形的相似,任何角度形状相同的图形,相互之间都是属于相似图形。相似比是指两个相似图形的对应边的比值。比如边长为1厘米的正方形与边长为2厘米的正方形相似,相似比即为1:2。

知识点

以边长为1厘米和边长为2厘米的两个相似正方形为例,有:

二、例题

【例1】(2017江苏)某市规划建设的4个小区,分别位于直角梯形ABCD的4个顶点处(如图),AD=4千米,CD=BC=12千米。欲在CD上选一点S建幼儿园,使其与4个小区的直线距离之和为最小,则S与C的距离是:

A.3千米

B.4千米

C.6千米

D.9千米

【解析】第一步,本题考查几何问题,属于几何特殊性质类。

第二步,幼儿园S与4个小区的直线距离之和为AS+BS+CS+DS=AS+BS+CD,由于CD长度为定值,则要使距离之和为最小,只需AS+BS最小。如图,以CD为对称轴,作A的对称点,连接B,与CD的交点即为S点,此时AS+BS为最小(两点之间线段最短)。

第三步,根据相似三角形判定定理,,因此,由于SC+SD=CD=12千米,故(千米)。

因此,选择D选项。

【例2】(2017年国考)一块种植花卉的矩形土地如图所示,AD边长是AB的2倍,E是CD的中点,甲、乙、丙、丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。则种植白花的面积占矩形土地面积的:

【解析】第一步,本题考查几何问题,属于平面几何类。

第二步,赋值丙面积为1,根据“中点”得到AB=2DE,所以甲的面积为4(相似图形,面积比等于相似比的平方)。丙和丁的底边都在DB上,顶点都为E,由于高相同,三角形面积比等于底边长之比,故得到丁的面积为2,同理乙的面积也为2。
       第三步,由于戊的面积与丙、丁面积之和相等(三角形底边长度相等,高相等),得到戊的面积为3,故总面积为4+2+1+2+3=12。根据种白花的面积为4+3=7,得到白花面积的占比为

因此,选择C选项。

【例3】(2018年联考))某甜品店出售一种规则球形的甜品,该甜品由内部中空的球形面皮(每立方厘米成本0.4元),和实心的芝士球(每立方厘米成本1元)组成,无论甜品大小规格如何,其中的芝士球半径始终为甜品半径的四分之三,已知制作半径为1厘米的该甜品成本约为2.73元那么要制作半径为2厘米的该甜品,成本约为

A.5.46元

B.7.45元

C.14.92元

D.21.88元

【解析】第一步,本题考查几何问题,属于几何特殊性质类。

第二步,球体体积之比等于相似比的立方,半径2厘米甜品的体积为半径1厘米甜品体积的2³=8倍,因此制作半径为2厘米甜品的成本为半径1厘米甜品的8倍。

第三步,成本约为2.73×8=21.84(元)。

因此,选择D选项。

【例4】(2019年四川)如图,沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组成,下面的圆锥内装有细沙。计时开始时,将沙漏倒置,已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要1小时,则细沙高度下降一半所需的时间是:

A.30分钟

B.45分钟

C.47.5分钟

D.52.5分钟

【解析】第一步,本题考查几何问题。
      第二步,下半部分锥体高度与整个锥体高度之比为1:2,则体积比为1:8(体积比为相似比的立方),高度下降一半,则整个锥体体积(上半部分)的沙子流出,所需时间为60×=52.5分钟。

因此,选择D选项。

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(编辑:smj)
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