数量备考干货：“全能”型方法——十字交叉法

　　在考试过程中，数学运算模块题目主要是通过代入排除法，数字特性法，方程法，赋值法求解。但是在考察一些加权平均数问题时，可能会遇到一些较复杂的题目，若采用常规方法——方程法，在列式、求解过程中难度均较大，求解过程繁琐耗费宝贵的时间，此时如果能掌握十字交叉法，可大大降低题目难度，快速求解出结果，可视为一种特殊形式的“秒杀”。

　　一、“十字交叉法”介绍

　　“十字交叉法”最初用于解决溶液混合问题，求解混合前或者混合后的溶液质量或浓度。例如，混合前一种溶液质量、浓度分别为A、a，另一种溶液质量、浓度分别为B、b;混合后溶液浓度为r，根据混合前后溶质质量不变可得：Aa+Bb=(A+B)×r，化简可得：，即根据混合前后浓度的数据得出混合前溶液质量之比;为了避免如此复杂的化简过程，可用十字交叉形式代替，如下：

　　，

　　直接可得：。这种方法实际上是一种简化方程的形式，凡是符合Aa+Bb=(A+B)×r的方程形式，都可以用“十字交叉”的形式来简化。

　　二、例题精讲

　　【例1】面包房购买一包售价为15元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓渡为20%的糖水12千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为25%，问购买白糖花了多少元钱?( )

　　A.45 B.48

　　C.36 D.42

　　【答案】B

　　【解析】相当于12千克20%的白糖水与浓度为100%的白糖溶液混合形成浓度为25%的白糖水。十字交叉形式如下：

　　解得x=0.8。12千克20%的糖水中含糖12×20%=2.4，故白糖一共2.4+0.8=3.2kg。花费为3.2×15=48元。故本题答案为B。

　　三、“十字交叉法”的拓展应用

　　“十字交叉法”除了用于求解数学运算中的溶液混合问题，还可以求解平均数问题、折扣问题、利润率问题、混合比重问题;甚至可以用于求解资料分析中的混合增长率问题等;因此被称为“全能”型方法。以上题目均有以下共同点：

　　①出现部分和整体这一类关系;

　　②研究部分和整体的相同指标，如浓度、平均分、折扣、利润率、增长率或比重;

　　③所求比例皆为以上指标分母之比。具体应用过程如下所示：

　　【例2】一只松鼠采松籽，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松籽，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天?( )

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　【答案】C

　　【解析】十字交叉形式如下：

　　晴天是5的倍数。根据倍数特性可知晴天有5天。故本题答案为C。

　　【例3】某超市购进西瓜1000个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂的西瓜只能降价出售，亏本60%，最后结算时总的利润率为32%，碰裂了多少西瓜?( )

　　A.80 B.75

　　C.85 D.78

　　【答案】A

　　【解析】十字交叉形式如下：

　　说明碰裂的西瓜占全部西瓜的8%/(92%+8%)=8%，即1000×8%=80(个)。故本题答案为A。

　　【例4】某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少?

　　A.5∶2 B.5∶1

　　C.3∶1 D.2∶1

　　【答案】D

　　【解析】本题实质是混合比重，十字交叉如下：

　　即音乐系总人数与美术系总人数之比为2∶1。因此，选择D选项。

　　【例5】2017年，某地区城乡居民人均消费支出37425元，同比增长6.4%。其中城镇居民人均消费支出40346元，同比增长5.5%;农村居民人均消费支出18810元，同比增长8.5%。

　　2017年该地区城镇居民人数约是农村居民的多少倍?( )

　　A.5.2 B.6.4

　　C.6.9 D.7.8

　　【答案】B

　　【解析】城乡=城镇+农村，当知道两个部分的平均数与一个整体的平均数，求两个部分的人数之比时可利用十字交叉法，数据位数较多，截位舍相同处理后，十字交叉形式如下：

　　故本题答案为B。

　　【例6】(山西2014-116)2012年，我国矿产品对外贸易活跃，进出口额9919亿美元，同比增长3.6%，其中，进口额同比增长1.4%，出口额同比增长7.6%。

　　2011年，我国矿产品进口总额约是出口总额的多少倍?( )

　　A.1.5 B.1.8

　　C.2.1 D.2.5

　　【答案】B

　　【解析】2012年进口增长率1.4%，出口增长率7.6%，以及进出口增长率3.6%，。十字交叉形式如下：

　　可以得出2011年的进口额和出口额的比例为4%∶2.2%≈1.8。故本题答案为B。

　　【注】本题所求为基期量之比，等量关系式：Aa+Bb=(A+B)×r，代入数据为：2011年进口额×1.4%+2011年出口额×7.6%=2011年进出口总额×3.6%。

　　四、注意事项

　　“十字交叉法”在应用时需注意以下几点：

　　①用于快速解决两部分之间比例问题;

　　②混合后数据居中，对角应为大数据减小数据后的结果;

　　③不同类型题目应准确区分A和a;涉及增长率时，A、B均代表基期量。

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