老师指导：关于最不利构造问题

数量关系虽难，但是有很多的解题技巧、套路和方法。比如数量关系中常考的一种题型—最值问题。最值问题在考试中常见的有三种题型，分别是最不利构造、数列构造、多集合反向构造。其中最不利构造是一类有固定解题套路的题型，只要学会解题方法，能够熟练应用，那么最不利构造类题目是考场中比较容易拿分的一种题型。

今天我们就一起来学习一下最不利构造类题目的解题方法。最不利构造类题目的题型特征是：至少……保证……。比如有编号为1~13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有3张卡片编号相连?“至少”摸出多少张就可“保证”一定有3张卡片编号相连，是一个典型的最不利构造问题。当判定一个题目是最不利构造问题以后，我们就可以用固定套路解题了。

具体操作如下：

①确定最不利情况：要求3张卡片编号相连，最不利的情况是已摸的牌里只有2张编号相连：1、2、4、5、7、8、10、11、13(或1、3、4、6、7、9、10、12、13)。

②求出所有不利情况的总和：每个编号4张，共4×9=36(张)卡片。

③答案=所有不利情况+1：答案=36+1=37(张)，即至少摸出37张，就可保证一定有3张卡片编号相连。

通过以上几步，我们可以发现，最不利构造类题目是有固定套路的，我们只要掌握了解题套路，那么最不利构造类问题还是比较简单的。

那么下面我们一起看几道例题，应用一下最不利构造类题目的解题方法。

【例1】(2019重庆)某地区招聘卫生人才，共接到600份不同求职者的简历。其中，临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有200人、160人、140人和100人，问至少有多少人被录用，才能保证一定有140名被录用者专业相同?

A. 141

B. 240

C. 379

D. 518

【答案】D

【解析】

第一步，本题考查最值问题中的最不利构造问题。

第二步，要保证140名录用者专业相同，则最不利的情形是只有139名满足，则所有的最不利情形=139+139+139+100=517(名)，则所求=517+1=518(名)。即至少有518人录用，才能保证一定有140名录用者专业相同。

因此，选择D选项。

【注意】保证值为140，最不利值为139，若某专业人数小于最不利值，则求所有不利情况的总和时，此专业只需保留实际总人数即可。

【例2】(2011北京)有17个完全一样的信封，其中7个分别装了1元钱，8个分别装了10元钱，2个是空的，问最少需要从中随机取出几个信封，才能保证支付一笔12元的款项而无需找零?

A. 4

B. 7

C. 10

D. 12

【答案】D

【解析】

第一步，本题考查最值问题，属于最不利构造。

第二步，构造最不利情况，分析可知，12元=10元+1元+1元，最不利的情况为2个空的、8个10元的、1个1元的，共计11个，根据最不利+1，此时再拿出1个必然可以构造出12元。可知最少应取出11+1=12(个)信封。

因此，选择D选项。

【注意】最不利情况即尽可能多取出信封但依然无法满足题目要求保证的事件，若先取出2个空信封，再取出7个1元的信封，再加1个10元的信封，即可满足保证，此时仅取出10个信封，未达到“最不利”，排除。

【例3】(2016山东)某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样本中有4名会员报的兴趣班完全相同?

A. 93

B. 94

C. 96

D. 97

【答案】B

【解析】

第一步，本题考查最值问题，属于最不利构造。

第二步，最不利构造问题的答案=最不利情况+1。由报名了至少一项，可得报名方式有(种)。要求有4名会员报名情况相同，最不利的情况为每种报名方式各有3人，共3×31=93(人)。故至少要调查93+1=94(个)样本，才能保证样本中有4名会员报的兴趣班完全相同。

因此，选择B选项。

【注意】此题中的所有不利情况共分5类，并需结合排列组合的知识进行计算，知识点较为综合难度较大，同学们计算时需认真仔细。

通过三个例题我们发现，最不利构造类题目，解题方法基本一致，最不利值均为“保证值-1”、答案均为“所有不利情况+1”，唯有找出所有最不利情况的总和才能得出正确答案。

数量关系的题目几乎都是有方法可寻、有技巧可用，多学习基础课，多做题，我相信同学们一定能有更多收获。不仅仅是最不利构造问题，其他知识点也有技巧，大家可以多多关注华图在线，里面有很多对大家有帮助的课程。

最后祝每位考生都能取得一个好的成绩，金榜题名就在今朝!

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