听说“9”和“44”与错位排列更配哦-部分错位排列问题

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在上篇中，我们见识了数字“9”和“44”与全错位排列问题的“疯狂”。其实，根据需要进行错位排列的元素是否用完，可将错位排列问题分为：全错位排列问题和部分错位排列问题。所以，下面我们还要单独解读一下部分错位排列问题。

一、什么鬼?

【引例】五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种。

这道题可以分三类解决：

第一类，所有同学都不坐自己原来的位置;

第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置;

第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置。

对于第一类，就是上篇的全错位排列问题;对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题。

二、肿么破?

对于上面引例这样的问题，我们究竟怎么解呢?请看下文：

设n个元素的全错位排列数为Dn，则第一类的排列数为D5;

第二类：先确定一个排在原来位置的同学有=5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为5D4;

第三类：先确定两个排在原位的同学，有=10种，所以第三类的排列数为10D3。

因此，上面引例的答案为：D5+5D4+10D3。

回忆一下上篇讲的重要结论：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265……

所以答案=D5+5D4+10D3=44+45+20=109种。

可见，类似于这样的问题并不难，因为“部分错位排列问题”也可以转化为“全错位排列问题”来求解，所以我们还是要记住全错位排列问题中“9”和“44”的“疯狂”。

三、肿么考?

【例1】(2017国考)某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训。培训后再将5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配1人。问5个参加培训的人中，有且仅有1人在培训后返回原分公司的概率：( )

A. 低于20% B. 在20%~30%之间

C. 在30%~35%之间 D. 大于35%

【答案】D

【解析】部分全错位排列问题、概率问题。

本题是概率问题，概率公式很简单，“概率=满足条件的情况数÷总的情况数”。概率的解题关键还是排列组合，因为其“满足条件的情况数”与“总的情况数”都涉及到排列组合。

“满足条件的情况数”：考题非常生活化，类似于“华图教育集团从5个分公司分别派出1名老师去北京总部参加培训。培训后再将5名老师分别分配到这5个分公司，要求有且仅有1人在培训后返回到原来自己的分公司”。这就是典型的“部分错位排列问题”，第一步先确定回到自己分公司的那1个人有=5种可能，第二步将其余的4人进行全错位排列有D4种，根据乘法原理，可得“满足条件的情况数”=5D4=5×9=45种。

“总的情况数”：5人随机分配到5个分公司，一共有=120种。

所以，所求概率=45/120=3/8=37.5%。因此，本题答案选择D选项。

可见，本题的关键，还是在于“满足条件的情况数”的分析，也就是错位排列问题的考查，只要把5D4=5×9=45种找到了，本题就迎刃而解了。

综上，对于全错位排列问题也好，部分错位排列问题也罢，当元素不是很多时，我们可以通过分类讨论的方案，对问题进行讨论求解，但当元素较多时往往讨论起来非常麻烦，所以熟记全错位排列数显得很实用。特别是要记住：数字“9”和“44”与错位排列更配哦!

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